Límite De Una Función

Iniciamos hoy el primer tema de la Matemática II, que tiene mucho que ver con las funciones y especialmente con un tema nuevo para el estudiante que es “LIMITE”

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

Sea la funcion “F” definida por: ; x 1 el único punto en el cual F(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima F(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

Para ello factorando la expresión obtenemos:

,

,

,

En las tablas siguientes se hace un seguimiento de F(x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

X 0 0.3 0.5 0.75 0.9 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999 1

Y 1 1.6 2 2.5 2.8 2.9 2.98 2.998 2.999 2.9998 No esta definida

X 1 1.0005 1.001 1.005 1.01 1.05 1.1 1.25 1.5 1.7 2

Y No esta definida 3.001 3.002 3.01 3.02 3.1 3.2 3.5 4 4.4 2

Observando “EL GRAFICO” se sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Note que a medida que los valores de x, se "acercan" a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de F(x) se "acercan" a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que:

El "límite" de la función F(x) es 3 cuando x tiende a 1., lo que se escribe:

De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra "límite", se dice que:

, si se puede hacer que F(x) este tan "cerca" de L como se quiera, haciendo que x este suficientemente "cerca" de a, pero siendo distinta de a.

Ejemplo

Suponga que se quiere calcular: de manera intuitiva

Como puede notarse cuando x = 2, la función, no está definida, pues: , La división entre cero , no está permitida .

Esta situación en el cálculo de límites, en algunas ocasiones no interesa, ya que a veces es importante conocer el comportamiento de la función el las proximidades de ese valor, en este caso, en las proximidades de 2.

Factorando:

Veamos que ocurre:

X -1 0 1 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5 3 2

F(x) 2 3 4 4.5 4.9 4.99 4.999 5.001 5.01 5.1 5.5 6 7

5

Como puede observarse, cuando tiende a 2 por la izquierda la función tiende a 5 y cuando x tiende a 2 por la derecha, también la función tiende a 5, por lo que:

Se concluye que:

Note lo siguiente:

Al decir se acerca a 2 o tiende a 2 significa que x nunca valdrá ese número pero se aproximará lo mas

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