Funciones Y Limites

Un byte es la unidad fundamental de datos en los ordenadores personales, un byte son ocho bits contiguos. El byte es también la unidad de medida básica para memoria, almacenando el equivalente a un carácter.

Definición de Función:

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

Clasificación de Función:

- Función Inyectiva:

En matemática, una función es inyectiva si a cada imagen le corresponde un único origen.

Ejemplo:

- Función Sobreyectiva:

Aquellas en que la aplicación es sobre todo el conjunto. Esto significa que todo elemento del conjunto tiene un origen.

Ejemplo:

- Función Biyectiva:

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo:

Límite matemático

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En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

1) LIMITE EN UN PUNTO.

a) Límite finito:

Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por

(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio

, podemos encontrar un entorno de a de radio

, que depende de

, de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,

) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,

).)

b) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

.

c) Límite por la izquierda:

d) Límite por la derecha:

2) PROPIEDADES O REGLAS DE LOS LÍMITES.

a)

siempre que no aparezca la indeterminación

.

b)

con

.

c)

siempre y cuando no aparezca la indeterminación

.

d)

siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones

e

.

e)

con

, siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

f)

siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos

.

Otra explicación.

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

1º.- Definición de derivada

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.

TIPOS DE DERIVADAS

Entre las técnicas de derivación citamos:

1-. Derivada de una constante que es cero:

si f(x) = k ---> f '(x) = 0

2-. Derivada de una potencia:

si f(x) = x^n ---> f '(x) = nx^(n - 1)

3-. Derivada de un logarítmo:

si f(x) = lnx ---> f '(x) = 1/x

4-. Derivada de una exponencial:

si f(x) = a^x ---> f '(x) = (a^x)lna

5-. Derivada de una suma:

Si y = f(x) + g(x) --> y' = f '(x) + g '(x)

6-. Derivada de un producto:

Si y = f(x) * g(x) --> y' = f '(x)*

...