Límites de funciones.

Límites de funciones

[pic 1]

“El límite de  cuando  tiende a , es igual a ”[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

El valor de   se aproxima a  cuando se aproxima a   para conocer cómo se comporta cerca de [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

El límite puede existir y ser  número real o infinito

Y puede no existir

Cuando  y  es un número finito puede pasar que:[pic 12][pic 13]

Obtener la solución directamente:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Ejercicios:

1. [pic 18]

1. [pic 19]

1. [pic 20]

1. [pic 21]

Obtener una solución indeterminada    entonces si: [pic 22]

[pic 23]

El límite puede existir y ser infinito o puede no existir

Para resolver se analizan los límites laterales

[pic 24]

La función tienen límite en   si  y sólo si sus límites laterales coinciden[pic 25]

[pic 26]

De lo contrario el límite no existe.

[pic 27]

[pic 28]

Por la izquierda:

[pic 29]

Por la derecha:

[pic 32]

[pic 35]

Los limites laterales no convergen por lo tanto no existe el límite

Ejercicios

Determinar el límite si existe en:

1. [pic 36]

1. [pic 37]

1. [pic 38]

1. [pic 39]

Obtener una solución a la  indeterminación  :[pic 40]

Para resolver el límite debe considerarse que :

Si dos funciones [pic 41] =  [pic 42] para todo [pic 43] entonces [pic 44]

Encontrar una función equivalente para realizar el análisis utilizando las reglas de los límites

1. Con polinomios factorizando y simplificando

1. Con radicales utilizando el conjugado

[pic 45]

[pic 46]

Factorizando todas las expresiones encontramos que:

[pic 47]

Gráfica de [pic 48]

[pic 49]

Gráfica de [pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

Utilizando el binomio conjugado para eliminar el radical encontramos que:

[pic 53]

 [pic 54]

[pic 55]

Ejercicios[pic 56] 

1. [pic 57]

1. [pic 58]

1. [pic 59]

1. [pic 60]

1. [pic 61]

1. [pic 62]

1. [pic 63]

1. [pic 64]

1. [pic 65]

1. [pic 66]

1. [pic 67][pic 68]

1. [pic 69]

1. [pic 70]

1. [pic 71]

1. [pic 72]

1. [pic 73]

1. [pic 74]

1. [pic 75]

1. [pic 77][pic 76]

1. [pic 78]
2. [pic 80][pic 79]

1. [pic 82][pic 81]

1. [pic 84][pic 83]

1. [pic 86][pic 85]

1. [pic 88][pic 87]

1. [pic 90][pic 89]

Cuando  infinito[pic 91]

Primero debe considerarse que  no es un número, es el concepto de una posición.[pic 92]

Para resolver estos límites debemos tener en cuenta que el valor de  cuando  tiende a , cumple las siguientes reglas:[pic 93][pic 94][pic 95]

*Todas las reglas de los signos

Sumar con infinitos

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

Productos con infinitos

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

Cocientes con infinitos y cero

[pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

[pic 105]

[pic 106]

Potencias con infinitos y cero

[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

[pic 112]

Obtener la solución directamente:

[pic 113]

[pic 114]

Analizamos únicamente el término de mayor grado y aplicamos las reglas anteriores:

[pic 115]

los tipos de indeterminación que se pueden resolver mediante :

Comparando ordenes [pic 116]

Conjugados    [pic 117]

Función exponencial [pic 118]

Obtener una solución a la  indeterminación

[pic 119]

Comparando ordenes

Si es de orden superior que entonces[pic 120][pic 121]

[pic 122]

Si es de orden superior que entonces[pic 123][pic 124]

[pic 125]

Si es del mismo orden que entonces[pic 126][pic 127]

[pic 128]

Y  es igual al cociente de los coeficientes de mayor grado[pic 129]

Si el orden de  y no se pueden comparar entonces:[pic 130][pic 131]

[pic 132]

[pic 133]

[pic 135] es de segundo orden  [pic 137] es de primer orden.  [pic 134][pic 136]

[pic 138]

 es de primer orden   es de segundo orden.[pic 139][pic 140]

[pic 141]

 y   son de segundo orden ambos, Al tener el mismo grado el límite es igual al cociente entre los coeficientes de mayor grado.[pic 142][pic 143]

Ejercicios

1. [pic 144]

1. [pic 145]

1. [pic 146]

1. [pic 147]

1. [pic 148]

1. [pic 149]

1. [pic 150]

1. [pic 151]

1. [pic 152]