LIMITES Límite funcional

LIMITES

Límite funcional

 Sea I un intervalo, a un punto de I, y f una función definida en I \{a}.

Naturalmente, como f no está definida en a no tiene sentido hablar de la continuidad de f en a. Sin embargo, podemos preguntarnos ¿es posible encontrar un número L∈R tal que definiendo f(a) = L, la nueva función así obtenida sea continua en a?

Para ello el número L tendría que cumplir la siguiente propiedad: ∀ε ∈ R + ∃δ∈R + : 0 < |x−a| < δ x∈I ) =⇒ | f(x)−L| < ε donde la condición “0 < |x−a|” es obligada porque la función f no está definida en a. Podemos modificar un poco la situación anterior, suponiendo ahora que f está definida en todo el intervalo I pero no es continua en a. En este caso queremos cambiar el valor de f en a, es decir, encontrar, si es posible, un número L∈R tal que definiendo el valor de f en a igual a L, la nueva función así obtenida sea continua en a. La condición que tiene que cumplir dicho número L es exactamente la misma de antes.

Nótese que ahora la condición “0 < |x − a|” es obligada porque nuestra función f no está definida en a de “forma apropiada”. En los dos casos considerados la condición obtenida es la misma con independencia del hecho de que f esté o no definida en a y, en caso de estarlo, del posible valor que f pueda tener en a. Por ello, en lo que sigue consideraremos la siguiente situación. Notación. En adelante, representaremos por I un intervalo; a será un punto de I, y f será una función que supondremos definida en I \{a} sin excluir la posibilidad de que dicha función pueda estar definida en todo el intervalo I lo cual, para nuestros propósitos actuales, carece de importancia. 6.5 Definición. Se dice que f tiene límite en el punto a si existe un número L∈R tal que se verifica lo siguiente: ∀ε ∈ R + ∃δ∈R + : 0 < |x−a| < δ x∈I ) =⇒ | f(x)−L| < ε Dicho número se llama límite de f en a y escribimos l´ım x→a f(x) = L. Observa que la existencia del límite es independiente de que f esté o no definida en a y, en caso de estarlo, del valor que f pueda tener en a. También debe advertirse que en la definición de la igualdad l´ım x→a f(x) = L, sólo intervienen desigualdades. Es fácil probar que el límite de una función en un punto, si existe, es único. Una consecuencia inmediata de la definición dada es el siguiente resultado.

Proposición.

 Sea f : I → R una función definida en un intervalo y sea a∈I.

Equivalen las afirmaciones siguientes: i) f es continua en a. ii) l´ım x→a f(x) = f(a). En la recta real es posible distinguir si nos acercamos “por la derecha” o “por la izquierda” a un punto. Ello conduce de forma natural a la consideración de los límites laterales que pasamos a definir. Límites laterales de una función en un punto Supongamos que: A) El conjunto {x∈I : a < x} no es vacío. En tal caso, se dice que f tiene límite por la derecha en a, si existe un número α∈R tal que se verifica lo siguiente: ∀ε ∈ R + ∃δ∈R + : a < x < a+δ x∈I ) =⇒ | f(x)−α| < ε

Dicho número se llama límite por la derecha de f en a y, simbólicamente, escribimos l´ımx→a x>a f(x) = α. B) El conjunto {x∈I : x < a} no es vacío. En tal caso, se dice que f tiene límite por la izquierda en a, si existe un número β∈R tal que se verifica lo siguiente: ∀ε ∈ R + ∃δ∈R + : a−δ < x < a x∈I ) =⇒ | f(x)−β| < ε

Dicho número se llama límite por la izquierda de f en a y, simbólicamente, escribimos l´ımx→a xa f(x). iii) Si a no es un extremo de I, entonces equivalen las afirmaciones: a) l´ım x→a f(x) = L. b) l´ımx→a xa f(x) = L.

 Límites infinitos Funciones divergentes en un punto

Se dice que f es positivamente divergente en a si se verifica lo siguiente: ∀M ∈ R + ∃δ∈R + : 0 < |x−a| < δ x∈I ) =⇒ f(x) > M

• Simbólicamente, escribimos l´ım x→a f(x) = +∞. Se dice que f es positivamente divergente por la izquierda en a si se verifica lo siguiente: ∀M ∈ R + ∃δ∈R + : a−δ < x < a x∈I ) =⇒ f(x) > M
• Simbólicamente, escribimos l´ımx→a xa f(x) = +∞ “ f es negativamente divergente en a”.
• Simbólicamente l´ım x→a f(x) = −∞. “ f es negativamente divergente por la izquierda o por la derecha en a”.
• Simbólicamente l´ımx→a xa f(x) = −∞

Límites en infinito

Sea f : I → R una función definida en un intervalo no mayorado I. Se dice que f tiene límite en +∞ si existe un número L∈R tal que se verifica lo siguiente: ∀ε ∈ R + ∃K∈R + : x > K x∈I ) =⇒ | f(x)−L| < ε

Dicho número se llama límite de f en +∞ y escribimos l´ım x→+∞ f(x) = L. Análogamente se define el límite en −∞.

DERIVADAS

Concepto de derivada.

Interpretación física y geométrica Para entender los resultados del Cálculo diferencial es necesario, antes que nada, comprender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón “instantánea” de cambio.

Concepto de derivada.

Interpretación física y geométrica Tangente a una curva A principios del siglo XVII no se sabía cómo calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría. Vamos a estudiar el concepto general de tangente a una curva en un punto dado. En general, no es un asunto sencillo hallar la pendiente de esta tangente. La razón es que, en principio, se necesita para ello otro punto, además del de tangencia. Supongamos que queremos hallar la tangente a la curva de ecuación cartesiana y = f(x) en el punto (a, f(a)).

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