LÍMITES DE FUNCIONES

TEMA: INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES        HOJA DE TRABAJO

M.C. Mauricio H. Cano P.

         LÍMITES DE FUNCIONES        

Los tres temas más importantes en estudio del cálculo son los conceptos de límite, derivada e integral. Cada uno de estos conceptos está relacionado con las funciones y sus gráficas. Para introducir los enunciados fundamentales del cálculo, históricamente se ha usado el problema de la recta tangente y el problema del área, cuyas soluciones implican el concepto de límite.

Introducción gráfica a los límites de funciones

A continuación, haremos una aproximación intuitiva al concepto de límite, centrado en la comprensión de qué es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos y gráficos. Esto servirá para elaborar una aproximación analítica, mediante métodos algebraicos para calcular el valor del límite de una función.

Límite de una función: aproximación intuitiva

Consideremos la función

𝑓(𝑥) =

2𝑥2 + 𝑥 − 3

[pic 1]

𝑥 − 1

… (1)

cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales excepto 1. La función 𝑓(𝑥) no está definida en 𝑥 = 1; esto es, 𝑓(1) no existe pues se obtiene la cantidad indefinida 0. Investiguemos los valores[pic 2]

0

de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 esté muy próximo a 1, sin llegar a ser 1.

hora, consideremos la curva que tiene como ecuación

𝑔(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 − 1

y el punto 𝑃(1, 2) que pertenece a la curva. Sea 𝑄(𝑥, 𝑔(𝑥)) otro punto sobre esta curva, diferente de 𝑃. Al construir la gráfica de 𝑔(𝑥) y los puntos 𝑃 y 𝑄, trazaremos la recta secante que pase por 𝑃 y 𝑄, de manera que 𝑄 se aproxime a 𝑃.

Supongamos que 𝑓(𝑥) es la pendiente de la recta secante 𝑃𝑄; entonces, de pendiente de una recta

𝑦2 − 𝑦1[pic 3][pic 4]

tenemos que

𝑚 = 𝑥

− 𝑥1

𝑓(𝑥) =

𝑔(𝑥) − 2

[pic 5]

𝑥 − 1

𝑓(𝑥) =

(2𝑥2 + 𝑥 − 1) − 2

[pic 6]

𝑥 − 1

2𝑥2 + 𝑥 − 3

𝑓(𝑥) =

[pic 7]

𝑥 − 1

[pic 8]

1

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M.C. Mauricio H. Cano P.

La última ecuación es de hecho la función (1). Obsérvese que 𝑥 ≠ 1 porque 𝑃 y 𝑄 son puntos distintos. De lo anterior vemos que, conforme 𝑥 se aproxima cada vez más a 1, los valores de 𝑓(𝑥) se acercan cada vez más a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto 𝑃.

La tabla muestra que cuando 𝑥 tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, parece que los valores de la función 𝑓(𝑥) tienden a 5; en otras palabras, cuando 𝑥 está próxima a 1, 𝑓(𝑥) está cerca de 5. Para interpretar de manera gráfica la información numérica en (1), observe que para todo número

𝑥 ≠ 1, la función 𝑓(𝑥) puede simplificarse por cancelación:

(2𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

𝑓(𝑥) =

[pic 9]

𝑥 − 1

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3

Obsérvese que la gráfica de 𝑓(𝑥) es esencialmente la gráfica de 𝑦 = 2𝑥 + 3, con la excepción de que la gráfica de 𝑓(𝑥) tiene un hueco en el punto que corresponde a 𝑥 = 1. Para 𝑥 suficientemente cerca de 1, los valores de 𝑓(𝑥) se aproximan cada vez más a 5. Decimos que 5 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando

𝑥 tiende a 1.

Definición informal de límite

Suponga que 𝐿 denota un número finito. El concepto de 𝑓(𝑥) que tiende a 𝐿 a medida que 𝑥 tiende a un número 𝑎 puede definirse informalmente de la siguiente manera.

Si 𝒇(𝒙) puede hacerse arbitrariamente próximo al número 𝑳 al tomar 𝒙 suficientemente cerca de, pero diferente de un número 𝒂, por la izquierda y por la derecha de 𝒂, entonces el límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙 tiende a 𝒂 es 𝑳.

Notación

El análisis del concepto de límite se facilita al usar una notación especial. Si el símbolo de flecha →

representa la palabra tiende, entonces el simbolismo

𝑥 → 𝑎− indica que 𝑥 tiende al número a por la izquierda, es decir, a través de los números que son menores que 𝑎, y

𝑥 → 𝑎+ significa que 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha,

es decir, a través de los números que son mayores que 𝑎. Finalmente, la notación

𝑥 → 𝑎 significa que 𝑥 tiende a 𝑎 desde ambos lados,

en otras palabras, por la izquierda y por la derecha de 𝑎 sobre una recta numérica. Límites laterales

En general, una función 𝑓(𝑥) puede hacerse arbitrariamente próxima a un número 𝐿1 al tomar 𝑥

suficientemente cerca, pero sin que sea igual, a un número 𝑎 por la izquierda; entonces se escribe

𝑓(𝑥) → 𝐿   cuando 𝑥 → 𝑎−        o bien,        lim[pic 10]

𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿1

[pic 11]

...