Limite De Una Funcion

Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

X f(x)

1,9 3,61

1,99 3,9601

1,999 3,996001

… …

↓ ↓

2 4

x f(x)

2,1 4.41

2,01 4,0401

2,001 4,004001

... ...

↓ ↓

2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de xdistintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos: si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).

Límites laterales

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a − δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| <ε .

El límite de una función en un punto si existe, es único.

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

Ejemplo Dada la función:

Hallar .

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica quef(x)>k para todos los valores próximos a a.

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica quef(x) < k para todos los valores próximos a a.

Límite cuando x tiende a infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Sumas con infinito

Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito

Productos con infinito

Infinito por un número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero

Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un número elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

La regla de los signos y que a-n = 1/a n

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

...