Limites De Una Funcion

MATEMATICAS VI: CALCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL

UNIDAD I: LÍMITES DE UNA FUNCION

1.1.- Introduccion a los limites

¿Qué es cálculo?

Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico.

Algunos ejemplos son:

Un objeto que viaja con velocidad constante puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar la velocidad de un objeto en aceleración es necesario el cálculo.

La pendiente de una recta puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar la pendiente de una curva es necesario el cálculo.

Una recta tangente a un círculo puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar una recta tangente de una gráfica general es necesario el cálculo.

El área de un rectángulo puede modelarse con matemáticas previas al cálculo. Para modelar el área debajo de una curva general es necesario el cálculo.

Cada una de estas situaciones comprende la misma estrategia general: el replanteamiento de las matemáticas previas al cálculo a través de la aplicación del proceso de hallar el límite. De este modo, una manera de contestar la pregunta “¿qué es cálculo?” es: cálculo es una “máquina de hallar límites” que comprende tres etapas. La primera la constituye las matemáticas previas al cálculo; la segunda es el proceso de hallar el límite; y la tercera es un nuevo planteamiento del cálculo, como una derivada o una integral.

Pareciera que un tema tan abstracto como éste, de límites, no tuviera manera de aplicarse. Para que te des una idea de dónde se puede aplicar, te presentamos el siguiente problema.

EJEMPLO

Sea f (t) el nivel de oxígeno en un estanque, donde f (t) = 1 es el nivel normal (sin solución), y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t = 0, se arroja materia orgánica de desecho en el estanque y conforme se va oxidando, la cantidad de oxígeno en el estanque viene dado por:

f(t)= (t²-t+1)/(t²+1)

¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana? ¿Y tras dos semanas? ¿Tras diez semanas? ¿Cuál es el porcentaje de oxígeno para t desmesuradamente grande?

Solución:

Cuando t = 1, 2 y 10, los niveles de oxígeno son:

f(1)= ((1)²-(1)+1)/((1)²+1)=1/2=50% en una semana

f(2)= ((2)²-(2)+1)/((2)²+1)=3/5=60% en dos semanas

f(10)= ((10)^2-(10)+1)/((10)²+1)=91/101=90.17% en diez semanas

Para un tiempo infinitamente grande calculamos el límite al infinito de f (t),

lim┬(t→∞)⁡〖(t²-t+1)/(t²+1)〗= lim┬(t→∞) (1-1/t+1/t^2 )/(1+1/t^2 )=(1-0+0)/(1+0)=1=10%

Por tanto el porcentaje de oxígeno del nivel normal del estanque en un tiempo en el infinito es aproximadamente un 10%.

1.2.- Propiedades de los Límites

Sean k y c números reales y n un entero positivo.

1. Límite de una función constante. Si f (x) = k, donde k es una constante, entonces:

lim┬(x→c)⁡k=k

Ejemplos:

lim┬(x→3)⁡10=10

lim┬(x→-2)⁡∛π=∛π

2. límite de la función identidad. Si f (x) = x, entonces:

Ejemplos:

lim┬(x→1)⁡x=1

lim┬(x→-5)⁡x=-5

lim┬(x→∛6)⁡x=∛6

3. Límite de una función potencia. Si f (x) = xⁿ, entonces:

Ejemplos:

lim┬(x→2)⁡〖x^3 〗=8

lim┬(x→-1)⁡〖x^5 〗= -1

lim┬(x→3)⁡〖x^4 〗=81

4. Límite de una constante por una función o múltiplo escalar:

lim┬(x→c)⁡〖kf(x)=kL〗

Ejemplos:

lim┬(x→3)⁡〖 f(2x)=6〗

lim┬(x→1)⁡〖f(5x)=〗 5

lim┬(x→4)⁡〖f(3x)=12〗

5. Suma o diferencia:

lim┬(x→c)⁡[f(x)±g(x)]=L±k.

Ejemplos:

lim┬(x→1)⁡〖f(x)+g(x)=1+1=2〗

lim┬(x→2)⁡〖f(2x)+g(3x)=2(2)+3(2)=10〗

lim┬(x→3)⁡〖f(3x^2 )+g(4x)=3(3)^2+4(3)=3(9)+12=27+12〗=39

lim┬(x→2)⁡〖f(2x³)-g(x^2 )=2(2)^3-(2)^2=2(8)-4=16-4=12〗

6. Producto

lim┬(x→c)⁡[f(x).g(x)]=L.k

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