Los límites de una función

LÍMITE Y CONTINUIDAD

Los límites de una función son unos de los conceptos más utilizados en los análisis matemáticos y otras ciencias exactas. Esto se debe a sus grandes aplicaciones y beneficios que tiene al calcular el límite de una función. Calcular el límite de una función en el punto X por derecha y por izquierda está cerca como deseamos y que sucede. Si luego de acercarme por derecha e izquierda y vemos que el valor es el mismo, podemos decir que el límite en esa función es ese valor. La definición formal de límite de una función cuando X se aproxima a (a) es que para todos a>0 , por más pequeño que sea existe que ō>0 que cumple que si 0<|x-a|<ō entonces If (X)- Ll<a.

Si la función tiene limite podemos decir de manera informal que la función tiende hacia el limite.

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L y sólo si para todos existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función.

Límites al infinito

Lim f (x)

x → a

Se evalúa de la siguiente manera: Cada término de la función se divide entre la variable

de mayor exponente. Y si un término queda dividido entre la variable, ese término

tiende a 0. Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces este límite no existe y sólo se investiga el comportamiento de la función.

Ejemplo:

Lim 4x - 3 = 4x/x - 3/x = 4/2 = 2 (asíntota horizontal).

x → ∞ 2x + 5 2x/x – 5/x

Límites trigonométricos (se divide entre x la expresión)

Lim senx / x = 1

x → 0

Lim (1 –cosx) / x = 0

x → 0

Ejemplo:

Lim (1 –cosx) = lim (1 –cosx) / x

x → 0 senx x → 0 = 0/1 = 0

Lim senx / x

x → 0

Cálculo de las asíntotas de la gráfica de una función

Asíntota vertical: Es el valor de x que hace 0 al denominador.

Asíntota horizontal: Se divide cada término entre la variable

de mayor exponente.

Continuidad de una función en un punto

Una función es continua en el punto x = a, si se cumplen las siguientes condiciones.

f (a) = exista

Lim f (x) = exista

x → a

Lim f (x) = f (a)

x → a

En estos casos, se evalúa el límite unilateral en el punto indicado (a). Si el límite bilateral existe, entonces la func

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