Limite De Funciones

LÍMITES DE FUNCIONES

Se dice que una función y=f(x) tiene límite "l" cuando la x tiende a "a" y lo representamos por:

cuando para toda sucesión de números reales que se aproxime a "a" tanto como queramos, los valores correspondientes de f(x) se aproximan a "l" tanto como queramos. ("tanto como queramos" es una expresión que nos indica que la aproximación será tanto mayor cuantos más elementos tomemos de la sucesión).

Ejemplo 1:

Consideremos la función y tratemos de calcular su límite cuando x tiende a 2. Tomamos la sucesión an = {1-1,9-1,99-1,999-1,9999-....} y veamos a qué valor se aproxima f(an), para ello construimos la siguiente tabla:

an 1 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 ..... 2

f(an) -2 -29 -299 -2999 -29999 -299999 -2999999 .....

Parece que los valores de la función se aproximan, tanto como queramos a menos infinito, pero nos preguntamos ¿Qué ocurriría si la sucesión elegida fuese decreciente, en lugar de creciente, veámoslo:

an 3 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2.000001 .... 2

f(an) 4 31 301 3001 30001 300001 3000001 ....

Ahora los valores se aproximan a más infinito.

Es decir, si la sucesión tiende a 2 pero conservándose todos sus términos menores que 2, la función tiende a un límite y si los valores de la sucesión se conservan todos mayores que dos la función tiende a otro distinto. Afirmamos que no existe límite en el punto 2 para la función dada.

Ejemplo 2

Calcular el límite

Vamos a proceder como antes con una sucesión creciente y otra decreciente que se aproximen ambas a 3 tanto como queramos:

an 2,1 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999 2,999999 .... 3

f(an) 31 4,3333 4,0303 4,0030 4,0003 4,00003 4,000003 .... 4

Y para una decreciente:

an 4 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001 3,000001 .... 3

f(an) 2,5 3,7272 3,9703 3,9970 3,9997 3,99997 3,999997 .... 4

Como los valores que toma la función para ambas sucesiones tienden al mismo valor 4, podemos escribir:

De los dos ejemplos anteriores obtenemos las siguientes conclusiones:

• • Se llama límite lateral por la izquierda de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(an) cuando los valores de an se aproximan a "a" tanto como queramos pero manteniéndose menores que "a" (sucesión creciente). Escribimos entonces:

• • Se llama límite lateral por la derecha de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(an) cuando los valores de an se aproximan a "a" tanto como queramos pero manteniéndose mayores que "a" (sucesión decreciente). Escribimos:

Teorema: El límite de una función si existe es único y únicamente si li = ld, es decir, si ambos límites laterales coinciden.

Concepto de límite. Casos de indeterminación.

En el punto segundo de este capítulo hemos definido el límite de f(x) cuando x tiende a "a" por medio de sucesiones. Esta definición aunque muy comprensible desde el punto de vista intuitivo, nos obligaría a comprobar todas las sucesiones que se aproximan a "a" (o al menos muchas de ellas) y ver hacia quién tiende f(an). El cálculo pude ser engorroso y la definición poco rigurosa si sólo comprobamos una ó dos como de hecho hemos hecho allí.

Una definición más rigurosa sería:

"Se dice que f(x) tiene por límite l cuando x tiende a "a" y se escribe , si para todo número real , positivo y suficientemente pequeño, es posible determinar otro número real , que depende de , tal que si se cumple , entonces se ha de cumplir que ".

La definición anterior equivale a decir que para todo entorno de "l" existe otro de “a” en el cual todo punto de este entorno menos “a” por medio de la función va a el entorno

Gráficamente:

Ejemplo:

Demostrar que

Consideremos un , hemos de encontrar un que verifique:

entonces:

Y despejando x:

Restando 2 a los tres miembros:

Basta pues tomar:

para que se cumpla la definición

Diremos que un límite es determinado si es un número real o bien . En cualquier otro caso se dirá que esindeterminado.

Existen 7 casos de indeterminación (no tienen sentido estos resultados):

En apartados posteriores diremos cómo solucionar cada una de ellas

Cálculo de límites

1. Límites de funciones polinómicas.

Distinguiremos dos casos:

Cuando :

Basta calcular f(a).

Ejemplo:

Calcula

Será:

Cuando :

En este caso el polinomio es equivalente al término de mayor grado, ya que el resto de los términos son insignificantes respecto de aquél y se pueden despreciar.

El límite será ó dependiendo el signo del que tenga el término de mayor grado y de si el exponente es par o impar:

Ejemplos:

2. Límites de funciones racionales.

Pueden darse dos casos:

a) Sea :

• • Si , se tiene que

• • Si , entonces

• • Si , tenemos el caso de indeterminación 0/0. Pero entonces como el numerador y el denominador son divisibles por (x-a), factorizando por la regla de Ruffini o utilizando las igualdades notables, podemos simplificar la fracción algebraica y puede desaparecer la indeterminación:

Ejemplos:

En este último caso determinaremos el signo del infinito calculando los límites laterales:

ya que si x tiende a 3 pero se conserva menor que 3, el numerador es positivo y el denominador negativo (basta dar a la "x" del denominador el valor 2,99 y se obtiene como valor numérico -0,0099).

pues para x tendiendo a 3 pero conservándose mayor que 3, el numerador es positivo y el denominador también (basta dar a "x" el valor 3,01 para obtener 0,0101).

b) Sea ahora :

Obtenemos una indeterminación

...