LIMITES Y DERIVADAS

1) Límites

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. Encálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentale de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

2) Caracteristicas de los límites.

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x-p| < δ, tenemos que |f(x)-L| < εSupóngase f : (M,dM) -> (N,dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, p) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.

3) Limites por la derecha e izquierda.

Se dice que el limite por la derecha de una función en el punto es , si toda sucesión cuyos terminos son todos mayores que y que tiende a verifica

El limite por la derecha se denota por

o bien

El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer tan cercano a como queramos eligiendo lo suficientemente proximo a por la derecha.

Se dice que el limite por la izquierda de una función en el punto es , si toda sucesión cuyos terminos son todos menores que y que tiende a verifica

El limite por la izquierda se denota por

o bien

El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer tan cercano a como queramos eligiendo lo suficientemente proximo a por la izquierda.

4) Propiedades de los limites

Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g son funciones que tienen límites cuando X → C , sin validas las siguientes propiedades

• Limite de una constante:

Lim x→a f(x) = L y Lim x→a g(x) = G

• Limite de una suma de funciones:

Lim x→a [f(x) ± g(x)] = [Lim x→a f(x)] ± [Lim x→a g(x)] = L ± G

• Limite de un producto:

Lim x→a [f(x).g(x)] = [Lim x→a f(x)].[Lim x→a g(x)] = L.G

• Limite de un cociente:

Lim x→a f(x) = Lim x→a f(x) = L , G≠0

g(x) Lim x→a g(x) G

• Limite de una raíz:

5) Derivadas

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.

6) Propiedades de las derivadas

Las derivadas forman una parte importante del cálculo.

Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.

En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.

Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada

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