Monografia limites y Derivadas
Rodrigo Salazar SánchezMonografía30 de Mayo de 2017
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA DE INGENIERÍA COMERCIAL
[pic 1]
DERIVADAS Y LÍMITES
AUTOR: RODRIGO MARCELO SALAZAR SÁNCHEZ
PROFESOR: ADOLFO HINOJOSA MAMANI
TACNA-PERÚ
2014
Contenido
Introducción 3
Limites 4
Marco Teórico 4
Definición general 4
Ejemplo limites 5
Limites Infinitos 5
Propiedades 5
Ejemplo limites infinitos 7
Limites por la derecha y por la izquierda 7
Límite por la derecha 7
Límite por la izquierda 8
Ejemplo limites por la derecha e izquierda 9
Derivadas 10
Marco Teórico 10
Definición 10
Reglas de derivación 10
Ejemplo derivadas 11
Aplicaciones de derivadas en la economía 11
Costos 11
Ingresos 12
Ganancias 13
Bibliografía 14
Problemas aplicativos 15
Introducción
En los últimos años, se ha mostrado la necesidad del hombre de conocer, dominar y sobrevivir en el mundo que le rodea, han surgido las ciencias, y entre ellas, la matemática. Los innumerables problemas relacionados con los números, han hecho que la ciencia Matemática abarque un campo muy amplio de estudio, por ello se ha dividido en diversas ramas, y dentro de las más importantes están el estudio de diversos temas que se darán a conocer.
La presente monografía desarrollará los temas de límites y derivadas; las aplicaciones de estas herramientas ayudan al cálculo matemático para hallar distintas razones de la economía; en este caso por la naturaleza que estos llevan, ayudan determinar el comportamiento de las dos fuerzas más grandes del mercado demanda y oferta tanto como ciertas funciones económicas y administrativas.
El contenido de la presente monografía ha sido desarrollado de forma didáctica, buscando que los temas analizados y el lenguaje empleado en las explicaciones sean de fácil comprensión para los alumnos.
La estructura pedagógica de esta monografía es secuencial; los procedimientos de problemas ejemplos se han desarrollado paso a paso con su debido tema. La inclusión de ejercicios tiene como objetivo que se practique lo aprendido, y desarrollar su lógica basándose en los conocimientos presentados.[pic 2]
Limites
Marco Teórico
Definición general
“Un límite es una magnitud a la que se aproximan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, es la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se acercan a un cierto valor.” (Angel, 2008)
[pic 3] | para que |x-a| sea más pequeño que él |
[pic 4] | para que |f(x)-L| sea más pequeño que él |
“Nota: δ llamada "delta" y ε llamada "epsilon"
Y se tiene que:
|f(x)-L|<[pic 5]cuando |x-a|<[pic 6]
Y la definición general quedaría:
"para cada[pic 7]>0, hay un [pic 8]>0 que cumple que |f(x)-L|<[pic 9]cuando 0<|x-a|<[pic 10]"
Esta es la definición formal. Pero la esencia es que cuando x se acerca a ‘a’ entonces f(x) se acerca a L. (disfrutalasmatematicas)
Ejemplo limites
1.- Demostrar si existe:
[pic 11]
- F(x)= 4x+3
- L=7
- a=1
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En conclusión: [pic 16]
Limites Infinitos
Propiedades
- [pic 17]
- [pic 18]
- [pic 19]
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- [pic 21]
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- [pic 36]
- [pic 37]
Ejemplo limites infinitos
1.-
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[pic 39]
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Indeterminado
Limites por la derecha y por la izquierda
Límite por la derecha
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Figura N°1: Límite por la derecha.
Fuente: Límites y Continuidad (Hérnandez, 2007)
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Figura N°2: Límite por la derecha.
Fuente: Límites y Continuidad (Hérnandez, 2007)
Límite por la izquierda
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Figura N°3: Límite por la Izquierda.
Fuente: Límites y Continuidad (Hérnandez, 2007)
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Figura N°4: Límite por la Izquierda.
Fuente: Límites y Continuidad (Hérnandez, 2007)
Ejemplo limites por la derecha e izquierda
1.-
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* = 4[pic 47]
* = 4[pic 48]
[pic 49]
4 = 4
Entonces: f(x) es continua
= 4[pic 50]
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Derivadas
Marco Teórico
Definición
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad [pic 52] cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad [pic 53].
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc. (Wikipedia)
Reglas de derivación
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Figura N°5: Reglas de derivación Fuente: (ciens.ula.ve)
Ejemplo derivadas
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- [pic 56]
- [pic 57]
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Aplicaciones de derivadas en la economía
Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.
En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio en la segunda cantidad o variable. (Aplicacion de las derivadas en economia)
Costos
Si el número de unidades de un bien es x; entonces el costo total puede expresarse como, a partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:
Costo promedio:
Cp = C (x) / x = y
Costo marginal:
Cm = C ‘ (x) = dy / dx
Costo promedio marginal:
Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x^2 ⎝ d/dx * Cp
Ej: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes
Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x
Costo Marginal: Cm = C’(x) = a
Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2 (Aplicacion de las derivadas en economia)
Ingresos
Si el número de unidades de un bien es x: Siendo la Función de demanda : y = f(x); donde y es el precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:
R(x) = xy = x-f(x)
A partir de esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:
Ingreso promedio:
Rp = r(x) / x
Ingreso marginal:
Rm = R ‘(x)
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