Limites, continuidad y derivada

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS[pic 1]

CONTINUIDAD UNIFORME

DOCENTE: Amado Mendez Cruz

CURSO: Análisis Complejo

NOMBRES:

• Ulloa Rodríguez, Brenda Katherine

ESCUELA: Matemática

CICLO: VI

AÑO:

2023

Trujillo – Perú

1. DEFINICIÓN

Sean  y  una función. Diremos que  es uniformemente continua en  si para todo  existe un  (que depende solo de  tal que si  y  entonces .[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Sean  y  una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.[pic 12][pic 13]

1.  es uniformemente continua en [pic 14][pic 15]
2.  e  son uniformemente continuas en [pic 16][pic 17][pic 18]
3. Para cualesquiera sucesiones  y  en  tales que                se cumple que [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

1. DIFERENCIA GRÁFICA ENTRE FUNCIÓN CONTINUA Y UNIFORMEMENTE CONTINUA

La diferencia entre una función continua y una función uniformemente continua de variable compleja es que la continuidad uniforme se aplica a conjuntos enteros de números complejos, y un solo valor de  es suficiente para garantizar que las fluctuaciones de la función estén limitadas en ese conjunto, mientras que en la continuidad,  puede variar para cada punto en el dominio de la función. La continuidad uniforme es una propiedad más fuerte que garantiza una suavidad controlada en un conjunto completo, mientras que la continuidad se enfoca en puntos individuales. Gráficamente podemos entender esto como:[pic 24][pic 25]

Función continua

[pic 26]

Función uniformemente continua

[pic 27]

la diferencia gráfica fundamental entre una función continua y una función uniformemente continua de variable compleja radica en cómo se controlan y limitan las fluctuaciones de la función en todo su dominio. La función continua permite suavidad local en puntos individuales, mientras que la función uniformemente continua asegura que no haya fluctuaciones excesivas en ningún lugar de su dominio, manteniendo una suavidad uniforme en su comportamiento en todo su alcance. La apariencia visual de ambas gráficas puede ser similar en términos de suavidad y continuidad local, pero la diferencia es en la uniformidad del control de las fluctuaciones.

1. EJEMPLO DE FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA UNIFORMEMENTE CONTINUA

Sea   definida en  demostrar que es uniformemente continua en [pic 28][pic 29][pic 30]

Demostración:

Recordando la definición de continuidad uniforme para funciones de variable compleja

[pic 31]

Notemos que para  se tiene que  y . Entonces[pic 32][pic 33][pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Por lo que basta con tomar  para que se cumpla la definición.[pic 39]

1. EJEMPLO DE FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA NO UNIFORMEMENTE CONTINUA

Sea  definida en  demostrar que  no es uniformemente continua en .[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Demostración:

Recordando la definición de continuidad uniforme para funciones de variable compleja

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