LIMITE Y CONTINUIDAD.

LÍMITE

El límite de una función , cuando  es el número  si los valores de  se aproximan a  tanto como se desee cuando los valores de  están suficientemente próximos a . Escribimos:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

Gráficamente, lo podemos observar en el siguiente ejemplo:

Consideremos la función  y el punto [pic 9][pic 10]

Se quiere conocer cómo se comportan los valores de  en las “proximidades” del punto 2. Cuando se dice en las proximidades de 2 nos referimos a “ambos lados de 2”, es decir a valores próximos o cercanos a 2, tanto como mayores y menores que el.[pic 11]

Para hacerlo analicemos la siguiente tabla de valores:

[pic 12][pic 13]

[pic 30][pic 31]

Cuando  se aproxima a  con valores menores a  (cuya notación es ) los valores de  se aproximan a . Lo mismo sucede cuando  se aproxima a  con valores mayores a  (cuya notación es ).[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

De esta manera puede advertirse que los valores de  están tan próximos a  como queramos para valores de  suficientemente “próximos” a .[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

Este comportamiento se puede observar en el gráfico de la función dada:

[pic 46]

Entonces: [pic 47]

ACTIVIDADES:

Completa la siguiente tabla y grafica. Luego indica si existe el .[pic 48]

LIMITES LATERALES

En determinadas funciones, como por ejemplo las definidas a trozos, los valores que toma alrededor de un punto, dependen si nos acercamos por la izquierda o por la derecha y el comportamiento puede ser muy distinto en ambas direcciones. Por ello, además de la definición de límite, conviene llevar a cabo definiciones que tengan en cuenta dicha circunstancia. Nos referimos a las definiciones de límites laterales que vamos ver a continuación.

• Limite lateral izquierdo

Decimos que el límite de  cuando  por la izquierda es L si  se acerca a L cuando x se acerca a “a” para valores x menores a “a”. Esto lo escribimos como [pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

• Limite lateral derecho:

Decimos que el límite de  cuando  por la derecha es L si  se acerca a L cuando x se acerca a “a” para valores x mayores a “a”. Esto lo escribimos como [pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

IMPORTANTE: El límite de una función en un punto existe si y solo si los dos límites laterales existen y son iguales.

En las gráficas de las funciones pueden presentarse las siguientes situaciones:

ACTIVIDADES

1. A partir de la observación de los siguientes gráficos indicar los límites solicitados.

1. En cada caso tracen el gráfico de . A partir de cada gráfico determinen el valor de cada límite señalado, si es que existe.[pic 99]

1. Dibujen en cada caso el gráfico de una función que verifique en forma simultánea las condiciones indicadas

PROPIEDADES DE LÍMITES

Si el límite de una función existe, este es único. Una función no puede tener dos límites diferentes para un mismo valor de x.

Para hallar el límite de una función se deben tener en cuenta ciertas propiedades:

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