Límites y Continuidad

Límites y Continuidad

1. Límite de una función en un punto. Propiedades.

2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

3. Cálculo de límites.

4. Función continua en un punto y en un intervalo.

5. Operaciones con funciones continuas.

6. Discontinuidades.

7. El Teorema del valor medio de Bolzano y el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.

Objetivos Mínimos

• Conocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límite en el ± .

• Saber calcular límites de cocientes de polinomios.

• Saber determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función.

• Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite.

• Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos principales de indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas.

• Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación del signo y la acotación de la función en un entorno del punto.

• Saber donde son continuas las funciones elementales.

• Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden aparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales.

• Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos.

• Conocer el concepto de continuidad de una función en un intervalo y qué significa eso en los extremos del intervalo.

• Conocer el teorema del valor intermedio de Bolzano y su aplicación a la localización de ceros de una función y al dibujo de gráficas de funciones que se cortan.

• Conocer el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass y, como consecuencia, que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y alcanza sus extremos.

1. Límite de una función en un punto. Propiedades.

A) LIMITE EN UN PUNTO.

A1) Límite finito:

Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por

(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a, ) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l, ).)

A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

B1) siempre que no aparezca la indeterminación .

B2) con .

B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

C) LIMITES LATERALES.

C1) Límite por la izquierda:

C2) Límite por la derecha:

TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).

TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).

Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale en lugar de l.

2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

A) LIMITES EN EL INFINITO.

A1) Límite finito.

A2) Límite infinito.

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.

B1) Asíntotas verticales.

Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

B2) Asíntotas horizontales.

Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

B3) Asíntotas oblicuas.

Dada la función y = f(x), si se verifica que

a) b) c)

entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

3. Cálculo de límites.

A) INDETERMINACIÓN

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.

Ejemplo.-

B) INDETERMINACIÓN

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo.-

C) INDETERMINACIÓN

Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.

Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.

Ejemplo.-

D) INDETERMINACIÓN

En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador.

Ejemplos.-

E) INDETERMINACIONES - -

Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que:

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores.

En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:

Aplicar la igualdad anterior a la resolución

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