LIMITES Y CONTINUIDAD

UNIDAD 3: LIMITES Y CONTINUIDAD

3.1 LIMITE DE UNA SUCESION

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

a1= 1

a2= 0.5

a1000= 0.001

a1000 000 = 0.000001

El límite es 0.

a1= 0.5

a2= 0.6666....

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1.

a1= 5

a2= 7

a1000= 2 003

a1000 000 = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.

Límite finito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

El límite de la sucesión an= n2 es +∞.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.

a101= 1012 = 10 201

Una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.

a101= −1012 = −10 201

PROPIEDADES DE LÍMITES DE SUCESION

Primera propiedad

La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los límites.

Segunda propiedad

La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la diferencia de los límites.

Tercera propiedad

El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de los límites.

Cuarta propiedad

Si una sucesión (an ) tiene límite L, distinto de 0, y tiene todos sus términos también

Quinta propiedad

Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones convergentes que tienen por límites L1 y L2.

3.2 LIMITE DE UNA VARIABLE DE VARIABLE REAL

una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Posteriormente veremos que los números que son aceptados por la máquina compondrán el dominio de definición de la función y el conjunto de elementos de salida compondrán el recorrido de la función.

Limite de una función de variable real.

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R

Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.

Considérese la función definida por: y= f(x) = 2x²-x-1/x-1 ; x 1 el único punto en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

a medida que los valores de x, se “acercan” a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se “acercan” a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que:

El “límite” de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas:

F (x) =3 cuando x–>1 (se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).

O también, Lim f (x)=3 ; x–>1 (se lee: límite cuando x tiende a 1 de f(x) es 3). De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra “límite”, se dice que:

Lim f(x) = L; x–>a, si se puede hacer que f(x) este tan “cerca” de L como se quiera, haciendo que x este suficientemente “cerca” de a, pero siendo distinta de a.

Límite.

Es cuando “X” se aproxima mucho a un valor sin ser el propio valor.

Ejemplos:

o lim x+3/x-4 = lim (1)+3/(1)-4 = 4/-3 = – 4/3

x —- 1

o lim x+3/ x-2 = lim (2)+3/(2)-2 = 5/0 = infinito

x—-2

o lim cos x= cos (0) = 1

x—–0

3.3 CALCULO DE LIMITES

Por una de las propiedades de sucesiones convergentes,

La sucesión an = n tiende a ¥, ya que sus términos se hacen tan grandes como

se quiera.

Ejemplo: cálculo de límites

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Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

•Se saca factor común n3.

Resolución:

•Se saca factor común n2 (siempre el término de mayor grado):

...