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Limite Y Continuidad


Enviado por   •  27 de Mayo de 2013  •  490 Palabras (2 Páginas)  •  503 Visitas

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Cap´ıtulo 4

L´IMITE DE UNA FUNCI ´ON

4.1. L´ımites

L´ımite de una funci´on: Sea f una funci´on definida en un intervalo abierto que

contenga a a (excepto posiblemente en a) y sea L un n´umero real. La afirmaci´on

l´ım

x→a

f(x) = L

significa que para todo  > 0 existe un n´umero δ > 0 tal que:

0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < .

Tambi´en se emplea la notaci´on convencional

l´ım

x→a

f(x) = ∞,

la cual indica que |f(x) − L| >  para |x − a| < δ, donde  es un n´umero positivo

arbitrario.

L´ımites unilaterales: El l´ımite por la derecha de una funci´on f es L, significa que f

se acerca al valor L cuando x se aproxima a a desde valores mayores que a. Este l´ımite

se denota como:

l´ım

x→a+

f(x) = L.

117

L´ımite de una Funci´on 118

De manera semejante, el l´ımite por la izquierda de f es L, significa que x se aproxima

a a desde valores menores que a. Este l´ımite se denota como:

l´ım

x→a−

f(x) = L.

Cuando el l´ımite por la izquierda no es igual al de la derecha, el l´ımite (bilateral) no

existe. Por lo tanto, si se tiene una funci´on f y a los n´umeros reales a y L, entonces se

dice que el l´ımite de f(x), cuando x tiende a a, existe y es L si, y s´olo si,

l´ım

x→a−

f(x) = L y l´ım

x→a+

f(x) = L.

Al buscar el l´ımite de la raz´on de dos polinomios enteros respecto a x cuando x→∞, es

conveniente dividir previamente los dos t´erminos de la raz´on por xn. En muchos casos

puede emplearse un procedimiento an´alogo, cuando se trata de expresiones irracionales,

en virtud de eso es bueno tomar en cuenta cu´al es la potencia mayor. Se aplica n/∞ lo

cual tiene a cero. Por ejemplo, en la siguinte tabla se muestran unos casos en los que

se distingue la m´as alta potencia de una funci´on: A continuaci´on se presenta una serie

Funci´on M´as alta potencia

x2 + 2x + 3 x2

3 √

x2 + 2x + 3 x

2

3

(x2 + 3)3 x6

(x + 1) (x2 + 4) x3

(x + 1) + (x2 + 4) x2

de ejemplos donde se utiliza el procedimiento recomendado previamente.

4.1.1. Ejemplos

Ejemplo 4.1.1. Hallar

l´ım

x→∞

(x + 1)2

x2 + 4

.

119 L´ımite de una Funci´on

Soluci´on:

l´ım

x→∞

(x + 1)2

x2 + 4

= l´ım

x→∞



x

x + 1

x

2

x2

x2 + 4

x2

= l´ım

x→∞



1 + 1

x

2

...

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