Limites Y Continuidad

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA DE

ADMINISTRACIÓN INDUSTRIAL

EXTENSIÓN PUERTO LA CRUZ

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Realizado por:

Puerto La Cruz, diciembre de 2012

Índice

Introducción

Idea Intuitiva del Límite…………………………………….4

Definición Informal del Límite…………………… ……4

Limite por Definición……………………………………….5

Propiedades de los Límites………………………………6

Límites unilaterales……………………………………….…7

Límite unilateral por la derecha……………………………………………………..8

Límite unilateral por la izquierda…………………………………………………….8

Límites infinitos....................................................9

Crecimiento infinito………………………………………………………………………….9

Decrecimiento infinito……………………………………………………………………..9

Asíntota Vertical…………………………………………………………………………………9

Límites en el infinito………………………………………..10

Asíntota Horizontal…………………………………………………………………………..10

Cálculo de límites……………………………………………..11

INDETERMINACIÓN ∞ - ∞…………………………………………………………………………11

INDETERMINACIÓN 0.∞…………………………………………………………………………….….12

INDETERMINACIÓN 0/0……………………………………………………………………………………….12

INDETERMINACIÓN ∞/∞……………………………………………………………………………………..13

LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. ………………………………………………14

Función continua en un punto…………………………14

Discontinuidades eliminables ……………………………………………………………..15

Discontinuidades esenciales ………………………………………………………………..15

Bibliografía…………………………….…………………………17

Introducción

“El límite de una función está íntimamente unido a su representación gráfica y a la interpretación de la misma debido a que lo que nos indica es el comportamiento o tendencia de la gráfica. Por esta razón, el concepto de límite es básico en el Análisis Matemático.

Las primeras definiciones de límite aparecen en la obra de Jonh Wallis (1616-1703) y en ella se utiliza por primera vez el símbolo infinito. Con posterioridad Jean Le Rond D'Alembert perfeccionó la definición de límite. Fue Ausgustin Cauchy (1789-1857) quien dio la definición de límite que utilizamos hoy en día.”

Idea Intuitiva de Límite

Consideremos la función f(x)=(e^x-1)/x cuyo dominio es R - {0} y supóngase que queremos saber que ocurre con f(x) cuando x se aproxima a cero, esto es necesario si se quiere representar la función gráficamente. Para tener una idea clara del comportamiento de la función en las cercanías de x = 0, se construye una tabla de valores dándole a x valores cercanos a cero tanto por la izquierda como por la derecha.

X 1 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01 0 -0,01 -0,05 -0,1 -1

f(x) 1,7182 1,2974 1,1070 1,0517 1,0254 1,0050 ¿? 0,9950 0,9754 0,9516 0,6321

Como puede observarse en la tabla f(x) se acerca a 1 cuando x tiende a cero. En el lenguaje de límites se dice que “el límite de f(x) cuando x tiende a cero es 1” y se escribe así:

lim┬(x→0)⁡〖f(x)=l〗

Una observación importante es que en este caso x no puede igualarse a cero, pero si puede acercarse a cero tanto como se desee.

Límite de una función en un punto

Una definición informal de límite

Decir que el número real L es el límite de la función f cuando su variable independiente x se acerca al número a, significa que la distancia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como queramos, a condición de que x se encuentre suficientemente cerca de a por cualquiera de sus lados, pero no igual que a.

Ejemplo:

La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos

Limites por Definición

Definición épsilon-delta

Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a.

El límite de f (x) cuando x tiende a es L, y se escribe

La función f(x) tiende hacia el límite L en a cuando, para todo e>0, existe algún d>0 tal que, para todo x que cumple

(Es decir, que lím f(x) = L cuando x->a si y solo si se cumplen las condiciones indicadas.)

Solución:

Propiedades de los Límites.

siempre que no aparezca la indeterminación .

con .

siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

...