Limites Y Continuidad

Resumen sobre límites y continuidad

Elaborado por: Br. Gleyman Aristides Cruz Gadea

Límite es el valor “L”. Es una aproximación:

lim f (x) = L

x → a

Valor límite de una función

lim f (x) = 0/0 [se debe factorizar, racionalizar o desarrollar la expresión f (x)].

x → a

Límites unilaterales

Se evalúa por la izquierda y por la derecha la función. Si al evaluar resultan diferentes

resultados tanto por la izquierda como por la derecha de a (x → a), entonces no existe

límite bilateral.

Ejemplo:

t + 4 si t ≤ -4

f (t) = 4 – t si t >-4

lim t + 4 = 0

t → -4-

lim 4 – t = 8

t → -4+

lim f (t) = no existe

t → -4

Límites infinitos (no existe límite)

En estos casos se debe analizar el comportamiento de la gráfica.

lim f (x) = C/0. (Se buscan los límites unilaterales).

x → a

Ejemplo:

lim (1- 2x) / (x – 2) = -3/0

x → 2

lim - / - = +∞

x → 2-

lim - / + = -∞

x → 2+

Resumen sobre límites y continuidad

Elaborado por: Br. Gleyman Aristides Cruz Gadea

Límites al infinito

lim f (x)

x → a

Se evalúa de la siguiente manera: Cada término de la función se divide entre la variable

de mayor exponente. Y si un término queda dividido entre la variable, ese término

tiende a 0. Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del

denominador, entonces este límite no existe y sólo se investiga el comportamiento de la

función.

Ejemplo:

lim 4x - 3 = 4x/x - 3/x = 4/2 = 2 ( asíntota horizontal).

x → ∞ 2x + 5 2x/x – 5/x

Límites trigonométricos (se divide entre x la expresión)

lim senx / x = 1

x → 0

lim (1 –cosx) / x = 0

x → 0

Ejemplo:

lim (1 –cosx) = lim (1 –cosx) / x

x → 0 senx x → 0 = 0/1 = 0

lim senx / x

x → 0

Cálculo de las asíntotas de la gráfica de una función

Asíntota vertical : es el valor de x que hace 0 al

denominador.

Asíntota horizontal: Se divide cada término entre la variable

de mayor exponente.

Continuidad de una función en un punto

Una función es continua en el punto x = a, si se cumplen las siguientes condiciones.

f (a) = exista

lim f (x) = exista

x → a

lim f (x) = f (a)

x → a

En estos casos, se evalúa el límite unilateral en el punto indicado (a). Si el límite

bilateral existe, entonces la función es continua.

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