Calculco Limites Continuidad

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).

Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.

Límite de una sucesión de números reales

Definición formal

Una sucesión tal que tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, hay un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:

.

Notación

o bien

o también

o simplemente

Ejemplos

 La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.

 La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.

 La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.

 Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.







Propiedades

 Si una sucesión tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.

 Si una sucesión tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.

 Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.

 Si una sucesion tiende a menos infinito y entonces tiende a 0.

Función real de variable real :

Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.

Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función ; la segunda, no es la gráfica de una función:

En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.

Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una

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