Derivadas De Funciones Trascendentes
Enviado por crismar_10 • 21 de Abril de 2014 • Informe • 670 Palabras (3 Páginas) • 728 Visitas
UNIDAD 1. DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES
Propósitos: Reforzar y extender el conocimiento de la derivada a través del estudio de la variación de las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales para cubrir situaciones que se modelan con funciones trascendentes. Retomar las relaciones entre las gráficas de una función y su derivada.
Sección 1. Derivadas de funciones trigonométricas
Los aprendizajes que debes obtener al terminar de estudiar esta sección son:
• Analizar las gráficas de las funciones seno y coseno y a partir de ellas, bosquejar la gráfica de su respectiva derivada.
• Identificar en cada caso la derivada respectiva de las funciones seno y coseno.
• Reconocer que las derivadas de las funciones trigonométricas también involucran variación periódica.
• Utilizar las derivadas de las funciones seno y coseno, y reglas de derivación para obtener las derivadas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante.
• Utilizar la regla de la cadena para derivar funciones trigonométricas cuyo argumento es función de x.
Derivada de la función seno.
A continuación te mostramos las gráficas de las funciones sen(x) y cos(x).
Dibuja la derivada de cada una de ellas y gráficamente comprueba que:
a) Si f(x) = senx, entonces f’(x) = cosx b) Si f(x) = cosx, entonces f’(x) = -senx
También para obtener la derivada de la función f(x) = sen x, se puede utilizar la definición de derivada, como sigue: h)x(f)hx(flim)x´(f0h−+=→
Para hacerlo, además de usar la identidad trigonométrica:
1
sen(x+y) = senx cosy + seny cosx
se necesita que recuerdes los siguientes límites, para lo cual te solicitamos completes las tablas correspondientes y, con ello, compruebes los resultados indicados:
x →0senlimxxx →01-coslimxxx
→0limsenxx
→0limcosxx
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
0.0000001
0
1
0
0
1
Teniendo lo anterior, a continuación encontraremos la derivada de la función sen(x). Sigue cada uno de los pasos: h0h0sen(xh)senxsenxcoshsenhcosxsenxf'(x)limlimhh→→+−+−==
factorizando – senx, del primero y tercer términos obtenemos: h0senx(cosh1)senhcosxf'(x)limh→−−++=
luego, h0h0senx(1cosh)senhcosxf'(x)limlimhh→→−−=+ →→−=−+=h0h01coshsenhf'(x)senxlimcosxlimcosxhh
Resumiendo: xcosdx)x(send=
De lo anterior y por la regla de la cadena, podemos concluir que si u es una función diferenciable1, entonces: dsenuducosudxdx=
1 Una función es diferenciable en un intervalo dado abierto si f’(x) existe para toda x en ese intervalo. 2
Ahora estamos en condiciones de derivar funciones que contengan a la función seno.
Ejemplo 1. Encuentra la derivada de g(x) = –5sen (–2x).
Solución. d(5sen(2x))dsen(2x)d(2x)55cos(2x)10cos(2x)dxdxdx−−−−=−=−−=−.
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