PRIMERA DERIVADA Y LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

LA PRIMERA DERIVADA Y LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

DEFINICIÓN: Una función y=f(x) se dice que es una función creciente sobre un intervalo de valores de x si y crece al incrementarse la x. Esto es, si x1 y x2 son dos valores cualesquiera en el intervalo dado con x2>x1, entonces f(x2)>f(x1).

Una función y=f(x) se dice que es una función decreciente sobre un intervalo de su dominio y decrece al incrementarse la x. Es decir, si x2>x1 son dos valores de x en el intervalo dado, entonces f(x2) < f(x1).

TEOREMA 1

Si f(x) es una función creciente que es diferenciable, entonces f’(x) ≥ 0.

Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable, entonces f’(x) ≤ 0.

y y

f(x2) -------------------------- f(x1) ------------------------------

f(x1) --------------- f(x2) ------------------------------

0 x1 x2 x 0 x1 x2 x

X2 > x1; f(x2) > f(x1) (b) x2 > x1; f(x2) < f(x1)

EJEMPLO:

Determine los valores de x en los cuales la función f(x) = x3 - 3x crece o decrece.

Solución: Tenemos que f’(x) = 3x2 – 3 = 3(x-1) (x+1). Con objeto de determinar el intervalo en que f(x) crece, hacemos f’(x) > 0, esto es,

3(x – 1) (x + 1) > 0

El procedimiento consiste en examinar los signos de los factores (x – 1) y (x + 1). El factor (x – 1) es positivo si x>1 y negativo en el caso de que x<1. Mientras que (x + 1) es positivo si x>-1 y negativo para x<-1.

Estos dos números dividen la recta real en tres intervalos: (-∞, -1), (-1, 1) y (1, ∞). En cada uno de estos intervalos, f’(x) tiene signo constante sólo cambia de signo en x = ±1, en donde es cero. Así que sólo seleccionamos un punto de prueba en cada intervalo y calculamos el signo de f’(x) en cada punto de prueba. Los resultados son los siguientes:

Intervalo

Punto de Prueba

f’(x) = 3x3 – 3

f (-∞, -1) (-1, 1) (1, ∞)

-2 0 2

3(-2)2 – 3 = 9>0 3(0)2 – 3 = -3<0 3(2)2 – 3 = 9>0

Creciente Decreciente Creciente

Vemos que f’(x) > 0 en (-∞, -1) y en (1, ∞), así que f es una

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