FUNCION DE VARIAS VARIABLES:

 [pic 1][pic 2]

GUIA DE TEORIA

UNIDAD I:

DERIVADAS PARCIALES

Profesor:

Pedro Colina

Maracaibo, Octubre 2.009

MATEMATICA III[pic 3][pic 4]

UNIDAD I.   DERIVADAS PARCIALES

FUNCION DE VARIAS VARIABLES:

Una función f de dos variables, es una regla que asigna a cada par ordenado (x,y) en el conjunto D de números reales en su dominio, un número real único, denotado por [pic 5]. El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma [pic 6].

Cuando se afirma que la función es de dos variables se refiere al número de variables independientes que definen a dicha función. La representación gráfica de este tipo de funciones sería en [pic 7], donde se consideran las variables independientes [pic 8] y la variable dependiente sería la letra [pic 9], o también se puede escribir [pic 10]

Son ejemplos de funciones de dos variables:

[pic 11]=[pic 12]

[pic 13]=[pic 14]

[pic 15]=[pic 16]

[pic 17]=[pic 18]

LIMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.

Se denota el límite de una función f de dos variables [pic 19] por la expresión:

[pic 20]

Y se dice que el limite de [pic 21], conforme [pic 22] se aproxima a [pic 23] es L, si se puede acercar los valores de [pic 24] a L tanto como se quiera, siempre y cuando se tome el punto [pic 25] lo suficientemente cerca del punto [pic 26] pero sin que sea igual a este.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.

Una función f de dos variables [pic 27] se dice que es continua en el punto [pic 28] si se cumple

[pic 29]

Una función f de dos variables [pic 30] se dice que es continua en el conjunto D si se cumple

[pic 31] en todos y cada uno de los puntos de D.

DERIVADAS PARCIALES

Sea la función f de dos variables [pic 32], donde suponga que decidimos variar solo a una de las variables y se toma a la otra variable como fija, digamos que se toma a la otra variable como una constante. Esto hace que la función sea de una sola variable, entonces se habla de derivada parcial respecto a alguna de las variables de f.

• Se denota a la derivada parcial de f respecto de x por: [pic 33],[pic 34]
• Se denota a la derivada parcial de f respecto de y por: [pic 35],[pic 36]

Si se desea evaluar a la derivada parcial de f respecto de x en el punto [pic 37] se denota por [pic 38]

Si se desea evaluar a la derivada parcial de f respecto de y en el punto [pic 39] se denota por [pic 40]

Además.

• [pic 41], donde [pic 42], se asume que b es una constante.
• [pic 43], donde [pic 44], se asume que b es una constante.

Recordando la definición de derivada respecto al límite, se puede escribir la derivada parcial de f respecto de x en el punto [pic 45], así:

 [pic 46] , y de manera análoga:

La derivada parcial de f respecto de y en el punto [pic 47] 

[pic 48] 

Notaciones de derivadas parciales:

Si definimos a la función [pic 49] se puede denotar:

La derivada parcial de f respecto de x

[pic 50] 

La derivada parcial de f respecto de x

[pic 51] 

Reglas para hallar derivadas parciales

Para hallar [pic 52] considere a la letra y como constante y derive [pic 53] con respecto a x.

Para hallar [pic 54] considere a la letra x como constante y derive [pic 55] con respecto a y.

Ejemplo 1:

Si  f(x,y)= x3 + x2y3 + 2 y2 , hallar las expresiones de [pic 56] y [pic 57].

Solución:

Hallamos primeramente [pic 58], hacemos y constante, al derivar respecto a x se obtiene: [pic 59]

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