Funciones en varias variables.

Práctica Dirigida

Aplicaciones de Funciones en Varias Variables

Funciones de Varias Variables

1. Una tienda de deportes en Saint Louis vende dos clases de raquetas de tenis, las marcas autografiadas son Serena Williams y la Jennifer Capriati. La demanda de los consumidores por cada marca depende no sólo de su propio precio, sino también del precio de la marca competidora. Las cifras de ventas indican que si la marca Williams se vende en x dólares por raqueta y la marca Capriati se vende en y dólares por raqueta, la demanda de raquetas Williams será [pic 1] raquetas por año y la demanda de raquetas Capriati será [pic 2] raquetas por año.

1. Exprese el ingreso total anual de la tienda por la venta de estas raquetas como función de los precios x y y.
2. ¿Cuál sería el ingreso total anual si el precio de las raquetas Williams es US$100 y las raquetas Capriati cuestan US$120?

1. Suponga que en cierta fábrica, la producción está dada por la función de producción Cobb Douglas [pic 3] unidades, donde K es la inversión de capital medida en unidades de $1 000 y L es el tamaño de la fuerza laboral, medida en horas-trabajador.

1. Calcule la producción si la inversión de capital es de $512 000 y se usa una fuerza laboral de 1 000 horas-trabajador.
2. Demuestre que la producción en el inciso a) se duplicará si se duplican la inversión de capital y el tamaño de la fuerza laboral.

1. Empleando a x trabajadores calificados y y trabajadores no calificados, un fabricante puede producir [pic 4] unidades por día. Actualmente hay 20 trabajadores calificados y 40 no calificados en el trabajo.

1. ¿Cuántas unidades se producen actualmente cada día?
2. ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador calificado más a la actual fuerza laboral?
3. ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador no calificado a la actual fuerza laboral?
4. ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador calificado y además 1 trabajador no calificado a la actual fuerza laboral?

1. Un fabricante puede producir calculadoras científicas graficadoras a un costo de $40 cada una, así como calculadoras financieras a $20 cada una.

1. Exprese el costo total de producción mensual del fabricante como función del número de calculadoras graficadoras y del número de calculadoras financieras producidas.
2. Calcule el costo total mensual si se producen 500 calculadoras científicas y 800 financieras.
3. El fabricante desea aumentar la producción de calculadoras científicas en 50 al mes a partir el nivel indicado en b). ¿Qué cambio debe hacerse en la producción mensual de calculadoras financieras para que el costo total mensual no cambie?

Derivadas Parciales

1. Se estima que la producción semanal de cierta planta está dada por la función [pic 5] unidades, donde x es el número de trabajadores calificados y y el de trabajadores no calificados que se emplean en la planta. Actualmente, la fuerza laboral está formada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Utilice análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de la adición de 1 trabajador calificado más, si el número de trabajadores no calificados no cambia.

1. Un fabricante estima que la producción mensual de cierta fábrica está dada por la función de Cobb-Douglas

[pic 6] 

donde K  es el capital en unidades de S/.1000 y L  es la fuerza laboral medida en horas-trabajador.

1. Encuentre la productividad marginal del capital, QK, y la productividad marginal del trabajo, QL cuando el capital es S/.750000 y el nivel de la fuerza laboral es 991 horas-trabajador.
2. ¿El fabricante debe considerar invertir capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral para aumentar la producción?

1. La utilidad diarias de un abarrotero por la venta de dos marcas de jugo de manzana es:

[pic 7]

donde P está dado en centavos, donde x es el precio por lata de la primera marca y y es el precio por lata de la segunda. Actualmente, la primera marca se vende en 50 centavos por lata y la segunda en 52 centavos por lata. Utilice el análisis marginal para estimar el cambio en la utilidad diaria que resultará si el abarrotero sube en un centavo por lata el precio de la segunda marca, pero mantiene sin cambio el precio de la primera marca.

1. Un fabricante estima que la producción anual en cierta fábrica está dada por unidades, donde K es el capital en unidades de $l 000 y L es la fuerza laboral en horas-trabajador.

1. Encuentre la productividad marginal del capital QK y la productividad marginal del trabajo QL cuando el capital es $630 000 y el nivel de la fuerza laboral es 830 horas-trabajador.
2. ¿Debe el fabricante considerar agregar una unidad de capital o una unidad de trabajo para aumentar más rápidamente la producción?

Máximos y Mínimos

1. Un fabricante que estima las ventas anuales en unidades, en función de los gastos hechos en la publicidad por radio y televisión. La función que especifica esta relación se formuló así:

[pic 8] 

donde z es el número de unidades vendidas cada año, la x indica la cantidad destinada a la publicidad por televisión y la y denota la cantidad dedicada a la publicidad por radio (x y y se dan en miles). Determine cuánto dinero deberá invertirse en ambos tipos de publicidad a fin de maximizar el número de unidades vendidas.

1. Un fabricante vende dos productos afines, cuya demanda se caracteriza por las dos siguientes funciones de demanda:

[pic 9]

[pic 10] 

donde pj es el precio (en dólares) del producto j y qj denota la demanda (en miles de unidades) del producto j. El examen de estas funciones de demanda revela que los dos productos están relacionados entre sí. La demanda de uno depende no sólo del precio que se le fije a ese producto, sino además del precio que se establezca para el otro.

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