FUNCIONES DE UNA VARIABLE

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Julia´n de la Horra Departamento de Matem´aticas U.A.M.

1. Introduccio´n

Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales es la de poder expresar, aproximadamente, los valores de una variable Y en  funci´on  de  los  valores  de  otra  variable  X.   Por  ejemplo,  podemos  estar interesados en expresar:

• El peso de las personas (Y ) en funci´on de su estatura (X).

El  peso  de  las  aves  de  una  especie  (Y )  en  funci´on  de  su  envergadura (X).[pic 1]

El nivel medio de contaminaci´on semanal (Y ) en funci´on de las precip- itaciones que se han producido (X).[pic 2]

• La altura del oleaje (Y ) en funci´on de la velocidad del viento (X).

El nu´mero de ejemplares (N ) de una especie en cierto h´abitat en funci´on del tiempo (T ).[pic 3]

• La concentraci´on de ox´ıgeno en el agua (X) en funci´on del tiempo (T ).

La variable Y puede recibir distintos nombres: variable dependiente, vari- able  de  inter´es,  variable  respuesta,  ...  La  variable  X tambi´en  puede  recibir diferentes nombres: variable independiente, variable explicativa, ...

El  modelo  matem´atico  que  utilizamos  para  expresar  una  variable  Y  en t´erminos  de  otra  variable  X  es  la  funci´on  de  una  variable.   Este  mod- elo,  no  s´olo  permite  expresar  una  variable  en  funci´on  de  otra,  sino  que  las herramientas asociadas a este modelo (l´ımites, derivadas, ...) nos permiten abordar y expresar, de manera sencilla, muchos aspectos interesantes de la relaci´on entre las dos variables.

1. Funci´on de una variable

Definici´on.- Una funci´on de una variable, y = f (x), es el modelo matem´atico que  nos  dice  cu´al  es  el  valor  de  la  variable  Y  para  cada  posible  valor  de  la variable X.

Algunas veces tiene sentido considerar todos los valores de la recta real como posibles valores de X, otras veces tiene sentido considerar para X solamente los valores positivos, otras veces consideraremos un intervalo,... En general, los valores posibles de X reciben el nombre de dominio. •

A continuaci´on, vamos a ir repasando todos los conceptos y herramientas habitualmente relacionados con las funciones de una variable (continuidad, derivadas, as´ıntotas, ...  )  pero poniendo especial ´enfasis en su utilidad y en su interpretaci´on.

1. Discontinuidades

Definici´on.- Una funci´on y = f (x) es continua en un punto x0, cuando:

lim

x→x−0

f (x) = lim

x→x+[pic 4]

f (x) = f (x0). •

Lo m´as importante para nosotros de esta definici´on es entender el signifi- cado intuitivo que puede tener una discontinuidad:

Ejemplo  1.- Consideremos  la  funci´on  N = f (t)  que  expresa  el  nu´mero de ejemplares de una especie en una reserva natural en funci´on del tiempo. Una  discontinuidad  en  un  instante  t0  representa  una  variaci´on  brusca  en el  nu´mero  de  ejemplares.   Si  la  discontinuidad  tiene  un  salto  hacia  abajo, representa  una  disminuci´on  brusca  de  la  poblaci´on  como  consecuencia,  por ejemplo, de un desastre natural. Si la discontinuidad presenta un salto hacia arriba,  representa  un  aumento  brusco  de  la  poblaci´on  como  consecuencia,

por ejemplo, de una suelta de ejemplares para repoblar la zona. •

En cualquier caso, conviene destacar que la mayor´ıa de las funciones que vamos a utilizar en las Ciencias Experimentales son funciones continuas.

1. Derivadas

La derivada de una funci´on es una herramienta enormemente u´til para estu- diar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´on, sus m´aximos, m´ınimos, ...  Pero, sobre todo, es enormemente u´til porque su interpretaci´on juega un papel central en muchos fen´omenos experimentales.

Definici´on.- La derivada de una funci´on y = f (x) en un punto x0 es:

f j(x ) = lim f (x0 + h) − f (x0) .[pic 5]

h→0        h

Ver la Figura 1 para la interpretaci´on gr´afica.   •

La funci´on derivada se suele representar como yj  = f j(x).  Por supuesto, podemos  considerar  tambi´en  la  derivada  segunda,  yjj  = f jj(x),  y  as´ı  sucesi- vamente.  En todo lo que viene a continuaci´on supondremos la existencia de derivadas de las funciones que estemos analizando.  Dicho de m´anera gr´afica, supondremos que estas funciones son suficientemente suaves.

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