DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Recta tangente a una curva en un punto:

Es la recta que pasa por los puntos P y Q infinitamente cercanos.

Es decir que la recta tangente y la curva tienen un único punto en común en P.

[pic 1]

Si P es un punto de coordenadas es la pendiente de la recta tangente, entonces su ecuación será:[pic 3][pic 2]

   ;[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

De la gráfica, el incremento en la variable  es:  [pic 8][pic 9]

[pic 10]

Entonces:

Si la Q esta infinitamente cerca de P, entonces  tiende a cero ( por lo tanto la recta secante PQ, se hace tangente en P, y la pendiente de esta última es el LIMITE del cociente  cunado .[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Entonces se puede escribir:  

[pic 15]

Definición:   La derivada de una función , es otra función, denotada por tal que su valor en cualquier punto  de su dominio, viene expresada por:[pic 19][pic 16][pic 17][pic 18]

                                                                     Si existe el límite (limite finito)

Otras notaciones:     [pic 20]

Interpretación geométrica de la derivada 

La derivada de una función  en cualquier punto, es igual a la pendiente m de la recta tangente  a  en ese punto.[pic 21][pic 22]

Derivadas laterales:

Si  es un punto del dominio de la función y Li y L2 los limites laterales a la izquierda y derecha de a, entonces:[pic 24][pic 23]

[pic 25]

 limite lateral izquierdo                                             limite lateral derecho

o  derivada por la izquierda                                     o derivada por la derecha

• Si existe  L1  y L2 y son iguales, entonces existe la derivada de  en .[pic 26][pic 27]
• Si no existe  la derivada en (que pertenece el dominio de f) entonces la función es discontinua.[pic 28]
• Si es continua presenta un punto anguloso, o bien la recta tangente es vertical.

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