Continuidad de una función en un intervalo abierto

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TAREA N° 2

Nombre: ________KEVIN VACA____________________ NRC: __________¬¬¬¬-__________

Fecha: ________06/05/2015_______________________ Aula: ____________________

TEMA: CONTINUIDAD EN UN PUNTO EN INTERVALOS CERRADOS Y ABIERTOS, INDETERMINADOS.

Continuidad de una función en un intervalo abierto

Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto.

Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua  x  (a, b).

Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x)  en el intervalo (–1, 1).

Por ser una función racional, la función es continua en cada número real excepto los que anulan el denominador, x  1 y x  1. Como esos valores no pertenecen al intervalo, la función es continua en el intervalo (–1,1).

Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x)  en el intervalo (–2, 2).

Los posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x  1 y x  1.

A continuación se analiza lo que sucede para cada valor:

En x  1

h(1)  (indeterminado)

La función no está definida en este punto.

Como f(x) no está definida en x  1 pero existe el límite para x  1, la función presenta una discontinuidad evitable en x  1.

En x   1

h(1)  no existe

Como no existe el límite para x  1, la función presenta una discontinuidad infinita en x  1

Por lo tanto, la función es continua en (2, 1)  (1, 1)  (1, 2).

Continuidad de una función en un intervalo cerrado

La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como tampoco a la derecha de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b. Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos puntos. Se debe definir primero la continuidad por derecha y la continuidad por izquierda en un punto.

Definición. Una función es continua a la derecha de un número a si y es continua a la izquierda de a si .

Definición. Se dice que f(x) es continua en [a, b] sí y sólo sí

a) f(x) es continua en (a, b)

b)  f(a) (continua a la derecha de a)

c) f(x)  f(b) (continua a la izquierda de b)

Ejemplo. Demuestre que la función f(x)  es continua en el intervalo [–3, 3].

La función f(x)  resulta de la composición de las funciones y  9 – x2 e . La primera es una función polinomial,

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