Continuidad De Funciones

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Definición .- Una función f : D ⊂ ℝn →ℝ es continua en el punto Po , si

lim┬(P⟶P_o )⁡f(P) =f ( P_o )

Se dice que f es continua en el subconjunto D , si f es continua en cada punto de D.

NOTA. La continuidad implica que a pequeños cambios en la variable independiente corresponden pequeños cambios también en la variable dependiente; es decir :

|f(P)- f(P_o)|< ε ,cuando ‖P-P_o ‖ < δ

PROPIEDADES:

Si f y g son funciones continuas en el punto A, entonces son continuas en el punto A las funciones f + g , f – g , f . g , f/g ,si g(A)≠0

Si f : D ⊂ ℝn →ℝ es continua en el punto A y si g : ℝ →ℝ es continua en f(A) entonces g o f es continua en A.

Toda función es continua en su dominio

Todos los polinomios son continuos en ℝn

Ejemplo 1 .- Evaluar la continuidad de la función dada por f(x,y)= x²y/(x²+y²) .

Solución

La función f es una función racional que no está definida en el punto ( 0, 0 ) , entonces ella es discontinua en ese punto. Luego f es continua en ℝ2 – { ( 0 , 0 ) }

Sin embargo ,

lim┬((x,y)→(0,0))⁡〖x²y/(x²+y²)〗=0

Entonces si se redefine f como:

f(x,y)={█( (x^2 y)/(x^2+y^2 ) , si (x,y )≠(0,0)@0 ,si (x,y )=(0,0) ) ┤

f , así definida, será continua en todo ℝ2 . Este es un caso de discontinuidad evitable o removible. (Fig. 1)

Fig 1. Gráfica de f(x,y)= x²y/(x²+y²) .

Ejemplo 2. Determinar la región de continuidad de la función f(x,y) = xy/√(4-x²-y²)

Solución

La función f(x,y) = xy/√(4-x²-y²) es una función racional,

y por tanto será continua en todo punto donde

4 - x² - y² > 0 , es decir x² + y² < 4

Por tanto f es continua en el interior de la circunferencia

de centro (0, 0 ) y radio 2 Fig 2

Ejemplo 3 Establecer si f es continua en todo el plano

f(x,y)=(sen √(x^2+y^2 ))/√(x^2+y^2 )

Solución

Notamos que f(x,y) = ( g o h ) (x , y ) ; donde h ( x , y ) = √(x^2+y^2 )

Si u = √(x^2+y^2 ) , entonces

g(u)= senu/u

La función h por ser polinómica es continua en ( 0 , 0 ) ; y g es continua en u = 0

Por consiguiente f (x, y ) = ( g o h ) (x , y ) es continua en ( 0 , 0 ) .

Fig.3 f(x,y) = (sen √(x^2+y^2 ))/√(x^2+y^2 )

Ejemplo 4 . Determinar la región donde f es continua

f(x,y)= {█((x+y)/(x²+ y²) ,

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