FUNCIONES CONTINUAS O CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONES CONTINUAS O CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Concepto

En esencia, una función es continua si su gráfica es una línea seguida, no interrumpida.

La definición matemática de continuidad comprende las propiedades de los límites. En la definición de límite el valor de no se especifica; es decir este límite depende únicamente de los valores de en la vecindad de (o sea, cerca de), pero no en el valor de.

Por consiguiente, puede ser o no ser igual a.

Si existe, y también existe el valor de, siendo igual a, entonces es continua en.

Es decir, se dice que una función es continua en si:

Entonces se puede decir que una función f (X) es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua en cada punto del intervalo en cuestión.

De la definición de continuidad se deduce que la gráfica de una función que es continua en un intervalo, es una línea ininterrumpida (es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lápiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o también se hace posible trazar una curva con sólo situar unos pocos puntos y dibujar una línea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificará en el caso de varias clases de curvas.

Ejemplos; aplicación de la definición de continuidad

Ejemplo 1: Demostrar que f(x) = 5 es continua en 7.

Solución: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan.

Primera, f (7) = 5, de modo que f está definida en x = 7.

Segunda, por tanto, f tiene limite cuando X —> 7

Tercerapor tanto f es continua en 7 (Véase la fig. 9.25)

Ejemplo 2: Demostrar que g(x) = x2 — 3 es continua en — 4.

Solución: la función g está definida en x = — 4; g (—4) = 13. También:

Por tanto, g es continua en — 4. (Véase la fig. 9.26)

Decimos también que una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto de ese intervalo. En esta situación, la gráfica de la función es conexa sobre el intervalo por ejemplo, f(x) = x2 es continua en el intervalo [2,5], porque para cualquier función polinomial .

Esto significa que UNA FUNCION POLINOMIAL ES CONTINUA EN TODO PUNTO.

Se concluye que tal función es continua en todo intervalo. Decimos que las funciones polinomiales son continuas en todas partes, o de manera más senci­lla, que son continuas.

Ejemplo: las funcionesson polinomiales. Por tanto son continuas. Por ejemplo, son continuas en 3.

3.1.3. Ejemplo práctico de aplicación (continuidad)

Un mayorista distribuye un producto que se vende por libra (o fracción de libra), cobra $2 por libra si se ordenan 10 o menos libras. Si se ordenan más de 10 libras, el mayorista cobra $20 más $1,40 por cada libra que exceda de las 10. Por tanto, si se compran x libras por un costo total de C(x) dólares, entonces C(x) = 2x Si 0 ≤ x ≤ 10 ; y C(x) = 20

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