Continuidad Funcion

Continuidad de una función

Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

• La función existe en a.

• Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.

• El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.

Ejemplo:

Estudiar la continuidad de en x = 2

1. La función tiene imagen en x = 2.

f(2)= 4

2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.

3. En x = 2 la imagen coincide con el límite

En la gráfica podemos comprobar que es continua.

1. Considere la función definida por:

Analice la continuidad de f en el punto x = 2. Si es discontinua clasifique la discontinuidad.

Solucion

Se debe analizar si f satisface las condiciones para ser continua en x = 2.

i. f (2) = 4 (Existe)

ii.

(Existe).

iii.

Como falla esta última condición, f no es continua en x = 2.

Ahora, puesto que (Existe), la discontinuidad es removible o evitable enx = 2.

Para remover o evitar la discontinuidad, se redefine la función, de tal forma que coinciden con g (2).

Asi,

En la fig. 8.14. aparecen dibujadas las gráficas de f y g cerca de x = 2.

Propiedades:

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Teorema del signo.

Sea f:[a,b] -->R una función continua en (a,b) entonces si f(x0) ≠ 0,existe un entorno E(x0, δ) en que f tiene el mismo signo que f(x0).

Si x0 =b (respectivamente x0 =a) entonces existe δ un tal que f toma en (b- δ ,b) (respectivamente (a,a+ δ) el mismo signo que f(x0).

Lema (de acotación).

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y x0 ∈ (a,b) entonces existe δ >0 tal que f es acotada en E(x0, δ).

Teorema de los ceros, de Bolzano.

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b], tal que f toma valores de signos distintos en los extremos a y b del intervalo, es decir, signo f(a) ≠ signo f(b). Entonces existe c∈ (a,b) tal que f(c)=0.

Teorema de los valores intermedios, de Darboux.

Sea f:[a,b]-->R una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f toma todos los valores intermedios comprendidos entre f(a) y f(b).

Teorema de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo), de Weierstrass.

Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces f alcanza al menos una vez el máximo y el mínimo absolutos en dicho intervalo.

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