Continuidad En Un Intervalo

Continuidad en un intervalo

DEFINICIÓN 2.3

i. Una función f es contínua en un INTERVALO ABIERTO si y sólo si, f es contínua en TODO punto del intervalo.

ii. Una función f es contínua en un INTERVALO CERRADO [a, b] si y sólo si, f es contínua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha en a y contínua por la izquierda en b.

Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas: (a, b] ó [a, b).

Así, por ejemplo, la función f (x)= [|x|] (mayor entero menor o igual a x), es contínua en los intervalos de la forma (n-1, n), n ∈ Z, ya que en cada uno de estos intervalos, la función es constante. Recuérdese que Z representa el conjunto de los números enteros.

Considérese también la función f definida por:

f (x)={x² si -1≤ x<2

x +2 si 2≤ x ≤ 3

y cuya gráfica.

Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [-1, 3].

1. Continuidad en el intervalo abierto (-1, 3).

Se analiza la continuidad sólo en el punto x = 2, ya que en los demás puntos del intervalo f es continua por ser polinómica en cada tramo.

Continuidad en x = 2.

i. f (2) = 4.

ii. Lim f (x)= Lim (x + 2) = 4

x→2΅ x→2΅

}→ Lim f (x) = 4

x→2

Lim f (x)= Lim x² = 4

x→2ˉ x→2ˉ

iii. Lim f (x)= f (2)

x→2

De i., ii., y iii. se concluye que f es contínua en x = 2 y por lo tanto f es contínua en el intervalo abierto . (-1, 3).

2. Continuidad por la derecha en el punto x = – 1.

i. f (-1) = (-1)2 = 1 (Existe).

ii. Lim f (x) = Lim x² =1 (Existe)

x→-1΅ x→-1΅

iii. . Lim f (x) = Lim f (1)

x→-1΅

Luego, f es contínua por la derecha del punto x = – 1.

3. Continuidad por la izquierda del punto x = 3

i. f (3) = 3 + 2 = 5 (Existe).

ii. Lim f (x) = Lim (x + 2) = 5 (Existe)

x→3ˉ x→3ˉ

iii. Lim f (x) = f (3)

x→3ˉ

Así, f es contínua por la izquierda del punto x = 3.

De 1. 2. y 3. se concluye, de acuerdo con la definición, que f es contínua en el intervalo cerrado . [-1, 3]

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