Ejercicios Propuestos Continuidad de funciones

Ejercicios Propuestos

Continuidad de funciones:

1. Determinar los valores de “x” para los cuales la función es discontinua en el punto :

a)

Solución:

Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad:

i. De la función tenemos:

Se cumple la primera condición de continuidad.

j. De la función tenemos:

Como los límites laterales son iguales, entonces cumple la segunda condición de continuidad.

k. De la función tenemos:

Se cumple la tercera condición de continuidad.

Como se cumplen las tres condiciones de continuidad, la función no tiene puntos de discontinuidad.

b)

Solución:

Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en el punto :

i. De la función tenemos:

Se cumple la primera condición de continuidad.

j. De la función tenemos:

Como los límites laterales son iguales, entonces cumple la segunda condición de continuidad.

k. De la función tenemos:

No se cumple la tercera condición de continuidad.

Como no se cumple la tercera condición de continuidad, la función es discontinuidad en

c)

Solución:

Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en el punto :

i. De la función tenemos:

Se cumple la primera condición de continuidad.

j. De la función tenemos:

Como los límites laterales son iguales, entonces cumple la segunda condición de continuidad.

k. De la función tenemos:

No se cumple la tercera condición de continuidad.

Como no se cumple la tercera condición de continuidad, la función es discontinuidad en

d)

Solución:

Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en el punto :

i. De la función tenemos:

No se cumple la primera condición de continuidad.

Como no se cumple la primera condición de continuidad, la función es discontinuidad en

2. Determinar los valores de a y b de modo que la función “f” sea continua en todo su dominio.

a)

Solución:

Como la función es continua, entonces:

i. Es continua en :

Esto significa que los límites laterales son iguales, es decir:

j. Es continua en :

Esto significa que los límites laterales son iguales, es decir:

De los puntos anteriores tenemos el sistema: . Resolviendo este sistema tenemos:

b)

Solución:

Como la función es continua, entonces:

i. Es continua en :

Esto significa que los límites laterales son iguales, es decir:

j. Es continua en :

Esto significa que los límites laterales son iguales, es decir:

De los puntos anteriores tenemos el sistema: . Resolviendo este sistema tenemos:

3. Halle los valores de x para los cuales la función dada no es continua y decir que tipo de discontinuidad posee.

a)

Solución:

Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en :

i. De la función tenemos:

No se cumple la primera condición de continuidad.

Como no se cumple la primera condición de continuidad, entonces la función es discontinua en . A pesar de saber que la función es discontinua en calculemos el siguiente límite:

Como el límite anterior existe, entonces la función tiene una DISCONTINUIDAD EVITABLE en el punto .

b)

Solución:

Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en :

i. De la función tenemos:

Se cumple la primera condición de continuidad.

j. De la función tenemos:

Como los límites laterales son diferentes, entonces no se cumple la segunda condición de continuidad.

Como no se cumple la segunda condición de continuidad, entonces la función es discontinua en . Ahora bien, como los límites laterales son diferentes, la función tiene una DISCONTINUIDAD DE SALTO o DE PRIMERA ESPECIE en el punto .

c)

Solución:

En primer lugar iguales a cero el denominador:

Ahora veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en los puntos :

i. De la función tenemos:

Valores indeterminados. Por tanto, no se cumple la primera condición de continuidad.

Como no se cumple la primera condición de continuidad, entonces la función es discontinua en . A pesar de saber que la función es discontinua en calculemos los siguientes límites:

Como los límites no existen (indeterminados), la función tiene una DISCONTINUIDAD ASÍNTOTICA o DE SEGUNDA ESPECIE en los puntos .

Aplicaciones de Continuidad:

4. Si una esfera hueca de radio “R” se carga con una unidad de electricidad estática, entonces la intensidad de campo eléctrico E(x) en el punto P situado a “x” unidades del centro de la esfera satisface:

Determinar si la función intensidad de campo eléctrico es continua para x>0.

Solución:

Veamos si la función cumple las tres condiciones de continuidad en el punto :

i. De la función tenemos:

Se cumple la primera condición de continuidad.

j. De la función tenemos:

Como los límites laterales no son iguales, entonces no cumple la segunda condición de continuidad.

Como no se cumple la segunda condición de continuidad, la función es discontinuidad

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