Método de momentos en el modelo de regresión lineal

Método de momentos en el modelo de regresión lineal

En el modelo de regresión lineal dado por:

yi = β0 + β1x1,i + β2x2,i + ... + βkxk,i + ui

La condición de consistencia para estimar por mínimos cuadrados es la incorrelación entre las variables independientes xj y el ruido de la regresión u. Para cada variable xj esto se puede expresar como:

E [xju] = E [xj (y - β0 - β1x1 - β2x2 - ... - βkxk)] = 0

Esta ecuación es una condición de momentos que incluye los parámetros βj que queremos estimar. Si estimamos el momento anterior con su correspondiente momento muestral, tenemos que:

Si hacemos lo mismo con todas las variables xj, como tenemos tantas variables xj como parámetros βj, podemos obtener un número de ecuaciones lineales igual al número de parámetros a estimar (para el término constante βj basta elegir x0=1). De hecho, este sistema de ecuaciones coincide con el sistema normal de ecuaciones para estimar por mínimos cuadrados y, por lo tanto, para este modelo particular, coinciden ambos estimadores.

Si no todas las variables xj están incorrelacionadas con el ruido u (técnicamente se dice que esas variables son regresores endógenos), para cada regresor endógeno habrá que buscar una variable instrumental zj correlacionada con la anterior y que cumpla la condición E [zju] = 0. Para estimar por el método de los momentos bastaría sustituir por los momentos muestrales correspondientes y despejar los parámetros βj. Este es, de una forma intuitiva, el principio de estimación por variables instrumentales: a cada variable xj endógena se le asocia un instrumento (o conjunto de instrumentos) y se aplican la condición de momentos E [zju] = 0 (las variables xj que no sean endógenas tendrían la misma ecuación de momentos que anteriormente, es decir E [xju] = 0). Como se puede observar, también el método de variables instrumentales en el modelo de regresión es un caso particular del método de los momentos.

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