FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Alguno de los tipos de problemas que se pueden formular son:

Mezcla de productos

Mezcla de material de costo mínimo (Dieta)

Transporte y asignación

Planeación financiera

Mercadotecnia

Asignación de recursos

METODOLOGÍA DE FORMULACIÓN DIRECTA PARA CONSTRUIR MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Como su nombre lo indica, la formulación directa estriba en pasar directamente del sistema asumido al modelo de Programación Lineal. Para tal efecto, se propone el siguiente orden: definir el objetivo, definir las variables de decisión, enseguida las restricciones estructurales y finalmente establecer las condiciones técnicas

Definir las variables de decisión: Son las incógnitas del problema básicamente consisten en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular, estas pueden ser de tantos tipos diferentes como sea necesario, e incluir tantos subíndices como sea requerido.

Función Objetivo (F.O.): Para seleccionar que función objetivo debe elegirse se toma en cuenta lo siguiente:

a) Si vamos a encontrar situaciones en las cuales tendremos solo costos ya sea de materia prima, costo de mano de obra, costo de uso de máquina, costos de transporte, costos de depreciación ,etc. esto indica que indudablemente la F.O. será de minimización.

b) Si el enunciado solo da datos económicos de ganancia, precio de venta o dinero a recibir por unidad producida la F.O. será de maximización.

c) Si el enunciado nos da al mismo tiempo costos y ganancias restaremos de la siguiente manera: ganancias – costos = utilidad, la que tendrá como F.O. maximización.

d) Si no nos dan ningún dato económico y solo se da tiempos, el tiempo se minimiza, si nos da solo producción, la producción se ha de maximizar, si el modelo corresponde a contratar al personal, la función objetivo se minimiza.

Definir las restricciones: Estas limitaciones o restricciones en los modelos lineales tienen sólo las siguientes estructuras: ≤,≥,=.

Muchos problemas tienen expresiones caracterí¬sticas que nos pueden anunciar que tipo de restricción debemos usar, por ejemplo:

Usar Para expresiones como :

≤ Como máximo, a lo más, disponibilidad, demanda máxima.

≥ Como mí¬nimo, por lo menos, al menos, demanda mí¬nima.

= Total, proporción

Condiciones Técnicas: En este apartado se establece que todas las variables deben tomar valores no negativos.

CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE MEZCLA DE PRODUCTOS

Variables de decisión→ cantidades a fabricar de cada producto

Función objetivo→maximizar ganancias

Restricciones→materia prima, mano de obra, capacidad instalada, jornada de trabajos, mercados.

Ejemplo (Mezcla de productos): Un taller de mantenimiento fabrica dos tipos de piezas para la reparación de equipos fundamentales del proceso productivo. Estas piezas requieren un cierto tiempo de trabajo en cada una de las tres máquinas que las procesan. Este tiempo, así como la capacidad disponible (horas) y la ganancia por cada pieza se muestran en el cuadro siguiente:

Maquina Tiempo por pieza

A B

Fondo de tiempo (h)

I 2 2 160

II 1 2 120

III 4 2 280

Ganancias ($/piezas) 6 4

Se logra vender todo lo producido y se desea determinar la cantidad de piezas a fabricar que optimice la ganancia.

Solución.

Variables de decisión:

X_1→ Cantidades a producir de la pieza tipo A

X_2→ Cantidades a producir de la pieza tipo B

Función objetivo→ Maximizar Z=6X_1+4X_2

Restricciones:

Sujeto a→ 2X_1+2X_2≤ 160

X_1+2X_2≤120

〖4X〗_1+2X_2≤280

Condición→ X_1,X_2≥0

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE MODELOS

Luego de la etapa de diseño del modelo de optimización lineal es necesario solucionar el mismo. Para ello se utilizan diferentes métodos de solución.

Para llegar a la solución de un problema de Programación Lineal se utilizan diferentes métodos de solución. Los más difundidos son: el método gráfico y el Método Simplex. La solución de un problema de Programación Lineal utilizando un procedimiento gráfico es posible si se tienen no más de dos variables. El Método Simplex fue el primer método surgido para solucionar problemas de Programación Lineal, por lo que se le considera el método de solución clásico por excelencia.

Método Gráfico

El procedimiento gráfico comienza elaborando una gráfica que muestre las soluciones posibles (valores X1 y X2). La gráfica tendrá valores los valores X1 en el eje horizontal y los valores X2 en el eje vertical. El procedimiento para hallar la solución gráfica consiste en lo siguiente:

Para cada inecuación del sistema de restricciones (medio espacio cerrado) se toma la recta correspondiente y se determinan los interceptos con la gráfica. Si la recta pasa por el origen del eje de coordenadas, el término independiente es cero, entonces se traza la recta tomando el origen y otro punto determinado dando un valor arbitrario a una de las variables.

Para determinar los puntos que satisfacen cada inecuación se sustituye un punto cualquiera del espacio (se recomienda el origen cuyas coordenadas son (0,0)), y de esta forma se determina si los puntos que satisfacen la misma están hacia el lado que está el origen o hacia el lado contrario, señalando con una flecha ese lado. Cuando la recta pasa por el origen entonces se toma otro punto cualquiera pero que sean sencillos los valores de sus coordenadas, por ejemplo, ( 0,1) , (1,0 ), (1,1), etc.

Luego se determina la región solución que es la región del plano que satisface todas las restricciones al mismo tiempo y que debe estar en el primer cuadrante. La figura formada es un poliedro convexo que tiene un conjunto de puntos extremos.

Se busca el punto óptimo entre el conjunto de puntos extremos. Para eso se sustituye cada par de puntos (X1, X2) de los puntos extremos en la función objetivo y se calcula el valor de Z. Si se está maximizando el valor de la misma, el punto óptimo será aquel que proporcione el valor mayor para Z y si el criterio de optimización es de minimizar, entonces el punto óptimo será aquel que proporcione el valor mínimo de Z.

Desventaja Fundamental del Método Gráfico

Este método gráfico tiene la desventaja que sólo permite la solución de problemas que tengan dos variables de aquí que la mayoría de los problemas de programación lineal se resuelvan utilizando como base el método

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