Modelos De Programación Lineal

Tema 2. Modelos programación lineal

Introducción

Los modelos de programación lineal pueden ser resueltos haciendo uso de dos métodos: el gráfico o el simplex, dependiendo del tipo de variables que se puedan tener. En este tema aprenderás a identificar los tipos de variables y reconocer el tipo de problemas para seleccionar el modelo más adecuado para su solución.

Explicación

2.1 Solución de modelos de programación lineal mediante método gráfico

Uno de los métodos de solución para los modelos de programación lineal es el método gráfico, el cual consiste en la representación gráfica de las restricciones y función objetivo definidos en el tema anterior.

Para poder hacer uso del método gráfico, es necesario que el modelo de programación lineal sea únicamente de dos variables, cuya función objetivo sea de minimizar o maximizar.

De acuerdo con Taha (2012), el método gráfico consta de dos pasos:

1. Determinar el espacio de soluciones factibles.

2. Determinar la solución óptima de entre todos los puntos localizados en el espacio de soluciones.

Continuando con el problema visto en el tema anterior, donde Bersol busca definir la combinación óptima de pintura para interior y exterior que maximice su utilidad diaria total de producción, podemos ejemplificar el método gráfico de maximización.

Solución del modelo

1. Determinación del espacio de soluciones factibles

Restricciones:

6Y1 + Y2 ≤ 24 (1)

Y1 + 2 Y2 ≤ 6 (2)

– Y1 + Y2 ≤ 1 (3)

Y2 ≤ 2 (4)

Y1 ≥ 0 (5)

Y2 ≥ 0 (6)

Primero trazamos las restricciones de no negatividad (Y1 ≥ 0, Y2 ≥ 0) en la gráfica, considerando el eje horizontal para Y1 (pinturas para exterior) y el eje vertical para Y2(pinturas para interior).

Al trazar estas primeras restricciones, nos damos cuenta que la gráfica queda limitada sólo al primer cuadrante.

Ahora procedemos a determinar los valores para Y1 y Y2 para el resto de las restricciones, y lo hacemos convirtiendo cada desigualdad en una ecuación, para después asignar valores y obtener las coordenadas de cada restricción como a continuación se muestra.

6 Y1 + 4 Y2 ≤ 24 (1)

6 Y1 + 4 Y2 = 24 coordenadas (0,6) y (4,0)

Y1 = 0

6 (0) + 4 Y2 = 24

4 Y2 = 24

Y2 = 24 / 4

Y2 = 6

Y2 = 0

6 Y1 + 4 (0) = 24

6 Y1 = 24

Y1 = 24 / 6

Y1 = 4

Y1 + 2 Y2 ≤ 6 (2)

Y1 + 2 Y2 = 6 coordenadas (0,3) y (6,0)

Y1 = 0

0 + 2 Y2 = 6

2 Y2 = 6

Y2 = 6 / 2

Y2 = 3

Y2 = 0

Y1 + 2 (0)= 6

Y1 = 6

– Y1 + Y2 ≤ 1 (3)

- Y1 + Y2 = 1 coordenadas (0,1) y (1,2)

Y2 = 0

- 0 + Ysub>2 = 1

Y2 = 1

Y2 = 0

Y1+ Y2 = 1

- Y1= 1

Y1 = - 1

Y2 = 2

- Y1 + 2 = 1

- Y1 = 1 - 2

- Y1 = - 1

Y1 = 1

Y2 ≤ 2 (4)

Y2 = 2 coordenadas (0,2)

Y2 = 2

Y2 = 0

Trazamos cada una de las coordenadas y obtenemos la recta para cada restricción.

El área sombreada con amarillo representan las soluciones factibles a este modelo, ya que cualquier valor dentro de esta área satisface cada una de las restricciones. Cualquier punto fuera de esta área sería una solución no factible al modelo.

2. Determinación de la solución óptima

Para determinar la solución óptima o valor óptimo para este modelo dentro del área sombreada, se deberá primero definir la dirección del crecimiento de la función objetivo maximizar X = 5 Y1+ 4 Y2, para lo cual se asignan valores aleatorios o arbitrarios crecientes, es decir por ejemplo X = 10, X = 15 y X = 21 para obtener las coordenadas de estas rectas.

5Y1 + 4 Y2 = 10 coordenadas (0, 2.5) y (2,0)

Y1 = 0

5 (0) + 4 Y2 = 10

Y2 = 10 / 4

Y2 = 2.5

Y2 = 0

5 Y1 + 4 (0) = 10

5 Y1 = 10

Y1 = 10 / 5

Y1 = 2

5 Y1 + 4 Y2 = 15 coordenadas (0, 3.75) y (3,0)

Y1 = 0

5 (0) + 4 Y2 = 15

Y2 = 15 / 4

Y2 = 3.75

Y2 = 0

5 Y1 + 4 (0) = 15

5 Y1 = 15

Y1 = 15 / 5

Y1 = 3

5 Y1 + 4 Y2 = 21 coordenadas (0, 5.25) y (4.2, 0)

Y1 = 0

5 (0) + 4 Y2 = 21

Y2 = 21 / 4

Y2 = 5.25

Y2 = 0 5 Y1 + 4 (0) = 21

5 Y1 = 21

Y1 = 21 / 5

Y1 = 4.2

Ya con las coordenadas, graficamos las rectas para cada una de las ecuaciones (líneas marcadas en rojo).

De acuerdo con la nueva gráfica, se observa que el punto dentro

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