MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

2.1 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Esta es una técnica matemática diseñada para ayudar en las operaciones, para planear, así como tomar mejores decisiones relacionadas con el equilibrio necesario para tomar decisiones para tomar la decisión más adecuada de los recursos.

Muchas decisiones implican utilizar los recursos de la organización de la toma más cercana posible, y esto comprende maquinaria, movimiento, mano de obra, materia prima.

La programación lineal implica también como en los modelos F.O, como en una expresión matemática, que maximiza o minimiza una cantidad (beneficio/costo), además de las restricciones que limitan el grado, en la que el administrador puede intentar alcanzar el objetivo.

2.2 MODELO DUAL SIMPLEX.

Reglas de transformación:

Se conoce como dualidad, ya que dado un conjunto cualquiera de datos para un modelo de programación lineal, podemos usar los mismos datos, para formar un modelo de programación lineal. ¨El problema resuelto se llama ¨DUAL ORIGINAL¨.

1.- El núm. de variables del problema dual, es igual al núm. de restricciones del problema original.

2.- Los C.O de la F.O. en el problema dual será el vector de recursos del P.O.

3.- Si el P.O. es un modelo de Máx. El DUAL será uno d Min. Y viceversa.

4.- Los coeficientes de la primera función de restricciones del problema DUAL, son los C.O. de la primera variable, en las restricciones del P.O. y de forma análoga para las otras restricciones.

5.- Los lados derechos de las restricciones duales, son los C.O. de la F.O. del P.O.

6.- El sentido de la i-exima restricción DUAL es igual, si y solo si, la i-exima variable del P.O. no tiene restricción de signo.

7.- Si el P.O. es un problema de Max. (Min) Entonces después de usar la regla 6 asigne a las restantes restricciones duales en el mismo signo (opuesto) con respecto a la variable correspondiente del P.O.

8.- Si la i-exima variable del problema dual, no tiene restricción de signo, si y solo si, la i-exima restricción del P.O. es de igualdad.

9.- Si el P.O es de Max. (Min) entonces después de aplicar la regla 8 resigne a las demás variables duales, el signo contrario que la restricción corresponda en el P.O.

EJEMPLO: 1 UNIDAD: 2

F.O: MAX Z = 9X1 + 6X2 – 7X3

S.A: 3X1+X2 -9X3 ≥ 11

X1+3X2+6X3≤16

5X1-7X2+7X3 = 7

C.N.N: X1≥0; X2≤0; X3 NO RESTINGIDO EN SIGNO

ELEMTO DIMENCIÓN

PROBLEMA

ORIGINAL X VECTOR COLUMNA CON N COMPONENTES

Z ESCALAR

PROBLEMA

DUAL DEL ORIGINAL Y VECTOR RENGLON CON LOS COMPONENTES

G ESCALAR

EJERCICIO: 1 UNIDAD: 2

F.O. MIN Z = 16X1 - 11X2 +13X3

S.A.= X1 + 2X2 – 7X3 ≤ 11

-2X1 – 3X2 + 9X3 ≥ 7

8X1 + X2 + 7X3 ≥ 23

3X1 + 5X2 + 9X3 = 12

C.N.N.= X1≤0; X2≥0; X4 NO RESTRINGIDO EN SIGNO;

X3≤0

EJERCICIO: 2 UNIDAD 2

F.O. MAX Z = -7X1 +12X2 + 6X3

S.A: X1 + 2X2 – 3X3 ≥14

5X1 + X2 + 2X3 ≤ 12

7X1 -6X2 + 7X3 = 16

3X1 +4X2 + 8X3 = 10

C.N.N: X1≥0, X2≤0, X3-X4 NO RESTRINGIDO EN SIGNO

EJERCICIO: 3 UNIDAD 2

F.O. MIN Z = 8X1 + 11X2 + 9X3

S.A: 2X1 + 6X2 + 8X3=19

X1 – 9X2 + 10X3 ≤14

5X1 +12 X2 -14 X3 ≥ 9

-9X1 + 3X2 +7X3 = 9

C.N.N: X1-X4 NO RESTRINGIDO EN SIGNO, X2≥0, X3≥0

2.3 INTERPRETACIÒN GEOMÉTRICA (método gráfico).

Este método grafico nos permite encontrar una solución factible derivada de un modelo, es decir, los resultados que obtenemos son APROXIMADOS para la toma de decisiones.

Sin embargo el modelo grafico o método grafico es otra forma de mostrar la solución, de un problema de programación lineal.

El método consiste en encontrar dentro de un área factible, un punto de referencia, el cual nos indica la mejor posición.

PASOS A SEGUIR PARA ENCONTRAR LA SOLUCIÒN ÓPTIMA DE UNA INTERPRETACIÒN GRAFICA:

1.- Identificar modelo.

2.- Igualar las desigualdades.

3.- Obtener los puntos por medio de planes ordenados (% cada 1 de los elementos)

4.- Localizar los puntos obtenidos en el plano cartesiano.

5.- Traza de vectores.

6.- Encontrar área factible.

7.- Identificar puntos factibles, involucrados en el área factible.

8.- Obtener el punto óptimo sustituyendo las coordenadas tanto como restricción como el la F.O.

NOTA:

SI LA RESTRICCIÒN ES MAYOR QUE, SE ALEJA DEL ORIGEN,

SI LA RESTRICCIÒN ES MENOR QUE, SE ATRAE DEL ORIGEN,

EJERCICIO: 4 UNIDAD 2

Una pequeña fábrica de dulces para su distribución al mayoreo desea producir, dos nuevos productos, dulces de azúcar, y un chocolate amargo. Para esta producción se requiere de 2 materias primas A y B de la cual solo dispone de 15 toneladas de materia prima A y 100 para B.

Se requiere para dulce de azúcar de 3 kg de materia prima A y 500 kg de materia prima B, el dulce de chocolate amargo requiere 5 kg para A y 200 kg para materia B.

El precio al mayoreo por kg es de $90.00 para el dulce de azúcar, y $85.00 para el dulce de chocolate.

¿Cuantos dulces se pueden producir para que se pueda finiquitar el gasto de inversión?

Dulce de azúcar glaseado Dulce de chocolate amargo Disposición

Materia prima A 3 5 15

Materia prima B 500 200 1000

Venta al mayoreo $90 $85

Definición de variables:

X1= Cantidad de dulce de azúcar glaseado a producir

X2= Cantidad de dulce de chocolate amargo a producir

F.O. MAX Z: 90X1 + 85X2

S.A: 3X1 + 5X2 ≤ 15

500X1 + 200X2 ≤ 1000

C.N.N: X1≥0; X2≥0

IGUALAMOS LAS ECUACIONES Y OBTENEMOS:

F.O. MAX Z= 90X1 + 85X2

S.A: 3X1 + 5X2 = 15

500X1 + 200X2 = 1000

OBTENIENDO PUNTOS:

3X1 + 5X2 ÷ 15 500X1 + 200X2 ÷ 1000

5

0 0

3

2

0 0

5

GRAFICANDO:

ENCONTRANDO Y SUSTITUYENDO PUNTO A:

PUNTOS: X1(2.4) X2(O)

30(2.4) + 40(0) = 72 ≥ 72 √

20(2.4) + 45(0) = 48 ≤ 65 √

9(2.4) + 32(0) = 21.6 ≥ 85 X

ENCONTRANDO Y SUSTITUYENDO PUNTO B:

PUNTOS: X1(1.27) X2(0.9)

30(1.27) + 40(0.9)

...