MAGNITUDES VECTORIALES

EL ESPACIO VECORIAL

MAGNITUDES VECTORIALES

Son las que para quedar perfectamente definidas es necesario dar:

- Punto de aplicación

- Dirección

- Sentido

- Módulo o valor del VECTOR

MODULO Y COSENOS DIRECTORES

[pic 1]

Módulo de [pic 2]

Los cosenos directores corresponden a la fórmulas:

ESPACIOS VECTORIAL, AFÍN Y EUCLIDEO

        Ángulo formado por dos vectores. Sean dos vectores libres a y b equipolentes (mismo módulo, dirección y sentido) Se designa el ángulo formado por a y b (α) de la siguiente manera:

a) si los vectores son perpendiculares α = 90º

b) si los vectores tienen la misma dirección y sentido α = 0º

c) si los vectores tienen la misma dirección pero sentido distinto α = 180º

2.- DEFINICION DE PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

        se define el producto escalar de dos vectores libres a y b como el producto de los módulos de cada uno de ellos por el coseno del ángulo que forma

[pic 3]

• Consecuencias de esta definición:

1.- el producto escalar es 0 si alguno de los dos vectores es nulo

2.- el producto escalar es 0 cuando ambos son perpendiculares, ya que (cos 90 = 0)

• Otra definición de producto escalar: Es la que se usa cuando se dan las componentes de ambos vectores.[pic 4]

* Consecuencia de ello el resultado del producto escalar es un  escalar, es decir, un número entero. No ocurre lo mismo en el producto vectorial, del que como su propio nombre indica se obtiene un vector.

Propiedades:

• Conmutativa:                      a · b = b · a
• Distributiva:                            a (b+c)= a·b + a·c
• Para cualquier número:          (γ·a)·b = γ (a·b)

3.- DEFINICION DE PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

        Como ya sabemos de su resultado se obtiene otro vector.  Propiedades:

[pic 5]

• El punto de aplicación es el mismo

• Módulo de [pic 6]

• La dirección de c es perpendicular a la de a y b
• Sentido se obtiene de la regla de MAXWELL (ijk)

VECTOR UNITARIO

Un vector es unitario cuando su módulo vale la unidad. Se definen tres vectores unitarios para definir representar los ejes:

A partir de a:                                                                [pic 7]

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR

        El valor absoluto de (a·b) es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro vector sobre él. Demostración:

                        [pic 8]

        (a · b) = [a]·[b]· (cosα)

 [pic 9]

        OH = [b] · cosα       ⇔  (a · b)= [a] · OH  

[pic 10]

NORMA DE UN VECTOR

        Dado un vector libre (a), se llama norma de dicho vector al producto escalar del vector por sí mismo, designándose de la siguiente manera: (a)2 = a · a

Consecuencias  de esa definición:

• la norma de un vector coincide con su módulo al cuadrado:

        [a] · [a] · cos (a,a) = cos 0 = 1

[pic 11]

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dados los puntos a y b:   d(AB) =[pic 12]

Propiedades:

• la distancia entre dos puntos es 0 únicamente en el caso en que A = B
• para cualquiera de los puntos su distancia siempre es +
• Simétrica aunque estén en sentidos contrarios
• Propiedad triangular: la distancia AB es siempre la suma de las distancias entre AC Y BC

                           A                [pic 13][pic 14]

                                        Un lado es siempre menor que la suma de los otros dos.[pic 15]

         B                  C        

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

        Utilizando la definición de producto escalar podemos calcular el cos (AB) despejando:

[pic 16]

PARALELISMO DE RECTAS

        Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales o si coinciden sus pendientes (m).. Su producto escalar es igual a 1.

Para construir una recta paralela a otra se utiliza el mismo vector director y se pone el punto por donde se desea que pase la nueva recta. Se utiliza la ecuación punto pendiente.

PERPENDICULARIDAD

        dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores lo son, es decir, que sean ortogonales y que su producto escalar sea igual a 0.                                         

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