Magnitudes escalares y vectoriales

INTRODUCCIÓN

Damos en este capítulo los conocimientos básicos sobre vectores, porque su manejo se hace indispensable en el estudio de los conceptos físicos como velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, campo eléctrico, etc.

El tratamiento vectorial en el estudio de los fenómenos físicos da las siguientes ventajas entre otras:

- Simplificación de procedimientos y sintetización de las expresiones matemáticas.

- Visualización de las relaciones entre las magnitudes físicas de carácter direccional y su variación con el tiempo.

Al finalizar el capítulo se descubrirá que la notación vectorial no es diferente de la notación del álgebra y la geometría analítica.

La mayor diferencia está en la interpretación de esta notación.

Un estudio cuidadoso del capítulo acompañado por una solución cuidadosa de todos los ejercicios ahorraría al estudiante momentos difíciles en los capítulos que siguen.

1.1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Algunas cantidades físicas presentan características diferentes de otras y el tratamiento matemático que se le debe dar, también debe ser diferente.

Así tenemos un grupo denominado “MAGNITUDES ESCALARES” y son aquellas que quedan completamente definidas al especificar solamente su “valor”. El valor de estas magnitudes se expresa mediante una “cantidad”. Toda cantidad comprende un número y una cantidad.

Veamos la siguiente:

10,20, 30________Números

S, 0°, m_________ unidades

10s, 20°c, 20 m__ cantidad o valor

Algunas magnitudes escalares son: volumen, masa, temperatura, trabajo, presión, energía, calor, frecuencia (etc.).

Otro grupo se denomina “MANIGTUDES VECTORIALES”, que para ser definidas completamente, deberán ser asociadas a otras características además de su valor o módulo. Por ejemplo si alguien dice que un avión salió del aeropuerto “Jorge Chávez” y voló 15 km, no se tiene ni la mas mínima idea del cambio de posición, osea del desplazamiento del avión, aunque se dijera que la ciudad a la que fue el avión queda a 150 km. en línea recta del aeropuerto seguiríamos igual.

¿Cuál fue el cambio de posición? Pues el avión podría haber seguido una infinidad de direcciones y sentidos.

Entonces estas magnitudes necesitan además del módulo una dirección y un sentido. Algunas de estas magnitudes son: desplazamiento, fuerza, peso, momento de una fuerza, gravedad, intensidad de campo eléctrico, o magnético, impulso, cantidad de movimiento, velocidad angular (etc.).

Las cantidades que se estudian en física se expresan siempre en función de cuatro unidades fundamentales: longitud (L) masa (M) tiempo (T) y carga eléctrica (Q), o longitud (L) fuerza (F) tiempo (T) y carga eléctrica (Q).

1.2. SISTEMAS DE UNIDADES

Los sistemas generalmente usados en mecánica son los siguientes:

1. SISTEMAS ABSOLUTOS (L M T)

C.G.S. Centímetro – grama – segundo

2. SISTEMAS GRAVITACIONALES (L F T)

M.K.S. métrico decimal metro – kilogramo fuerza – segundo

Inglés técnico pie – libra fuerza - segundo

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA (S.I.)

El sistema internacional de unidades de medida llamado SI en todos los idiomas fue sugerido por el Físico italiano G. Giorgi tomando como base el sistema M.K.S. racionalizado.

1.3. ANÁLISIS VECTORIAL.

Parte de la matemática que tiene por finalidad estudiar a entes imaginarios llamados vectores y analizar las distintas operaciones que con ellas se realizan.

1.4. VECTORIAL

1.4.1. Definición: Ente matemático que además de tener valor (módulo), tiene dirección y sentido.

Gráficamente se representa por un segmento de recta orientado (cabeza de flecha).

Notación:

= Vector

=

Dirección: El de la recta L

Sentido: de A hacia B

O: origen

1.4.2. Vector opuesto: Dado un vector se llama vector opuesto o negativo del vector a otro vector de igual módulo pero de sentido contrario.

El opuesto de es - y viceversa.

1.4.3. Vectores iguales: Son los vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

1.4.4. Vectores concurrentes: Son los vectores cuyas líneas de acción se intersecan en un mismo punto:

1.4.5. Vector unitario: Es el vector módulo es igual a la unidad.

es unitario si   = 1

Para encontrar el vector unitario en la dirección de un vector basta dividir éste entre su módulo:

Sea el vector, el unitario será:

=

o; =  

1.5. VECTORES EN 2 DIMENSIONES

En un sistema de coordenadas xy, introduzcamos el vector unitario en la dirección positiva del eje X, y el vector unitario en la dirección positiva del eye Y.

Sea el vector en el plano XY, este vector puede representarse como la suma de un vector paralelo al eje X y otro paralelo al eje Y.

En la figura Ax y Ay se llaman componentes vectoriales del vector A.

= x + y; yen función de los vectores unitarios:

= ax = y Ay

Si se conoce la magnitud A y su dirección dada por el ángulo  de la figura 1.4. puede calcularse los componentes, en este caso Ax y Ay son los catetos del triángulo rectángulo y A sería la hipotenusa y se verifica:

Ax = Acos, Ay = Asen (1.4)

Según el teorema de Pitágoras:

A2 = A2x+ A2y……. (1.5)

También:

La dirección tg = ….(1.6) y  = arc tg ( )…..(1.7)

VECTORES EN EL ESPACIO

El vector se puede escribir.

= + y + z

En función de los vectores unitarios

= Ax + Ay + Az

La dirección la dan los cosenos directores.

cos = , Cos B = , Cos  = (1.8)

Ax = A cos , A y = A cos B, Az = A cos  (1.9)

En el paralelepípedo trirrectangular de la figura la diagonal principal y sus aristas están relacionadas por:

A2 = A2x + A2y + A2z

Reemplazando con las relaciones

cos2  + cos 2 B + cos2  = 1

1.6. SUMA Y RESTA DE VECTORES

1.6.1. Procedimientos gráficos para sumar vectores

A) Métodos del paralelogramo

Se construye un paralelogramo con los vectores que se van a sumar haciendo coincidir sus orígenes,

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