Magnitudes escalares y vectoriales

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Dr. CARLOS MOSQUERA

2

Magnitudes escalares y vectoriales – Definiciones; propiedades y operaciones

En los conceptos de mecánica que desarrollaremos, nos encontraremos con dos diferentes tipos

de magnitudes: escalares y vectoriales.

Las magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo

número real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un

hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las puede representar

mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número

real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el volumen;

el trabajo mecánico; la potencia; la temperatura.

A las magnitudes vectoriales no se las puede determinar completamente mediante un número

real y una unidad de medida. Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del

espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta

tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por

las dos posibles orientaciones de la recta). Al igual que con la velocidad ocurre con las fuerzas:

sus efectos dependen no sólo de la intensidad sino también de las direcciones y sentidos en que

actúan. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración; el momentum o cantidad de

movimiento; el momentum angular. Para representarlas hay que tomar segmentos orientados, o

sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un

cierto orden.

Definición 1: Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo

determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector

determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y el

extremo del vector, determina su sentido.

En la figura 1 se representa el vector a sobre la recta r, de origen O y extremo P. En adelante los

vectores serán designados con letras mayúsculas o minúsculas en negrita.

Definición 2: Se denomina módulo de un

vector a la longitud del segmento orientado

que lo define.

El módulo de un vector es siempre un

número positivo. Será representado mediante

la letra sin negrita o como vector entre barras:

mód v = v = |v|.

Definición 3: Dos vectores son iguales (llamados equipolentes por algunos autores) cuando

tienen el mismo módulo y la misma dirección y sentido.

En figura 2 es a = b. Esta definición corresponde a lo

que se denominan vectores libres; o sea, vectores que

pueden deslizar a lo largo de una recta y desplazarse

paralelamente a sí mismos en el espacio. Son los que

nos interesan y cumplen con las tres propiedades

(reflexiva, simétrica y transitiva) que se exigen a toda

definición de equivalencia entre elementos de un

conjunto.

v

O

P

r

Figura 1

Figura 2

b

a

3

Componentes de un vector

Para ubicar un objeto cualquiera ya sea que esté en reposo o en movimiento rectilíneo, por lo

general utilizamos como referencia un punto fijo sobre la recta. Para ubicar un cuerpo en reposo

en un plano o describiendo una trayectoria plana, nos basta con dar su distancia a dos rectas fijas

del plano (perpendiculares entre sí para mayor facilidad en los cálculos) que tomamos como

referencia. De la misma forma, todo punto del espacio queda determinado unívocamente

mediante su distancia a tres rectas fijas respectivamente perpendiculares entre sí. A este sistema

de referencia lo denominamos sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen O y

ejes x, y, z.

P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2) son

respectivamente el origen y el extremo del

vector a.

Definición 4: Se denominan componentes

de un vector a respecto del sistema (O; x, y,

z) a las proyecciones de a sobre los ejes, o

sea a los números

1 2 1 2 2 1 3 2 1 a = x − x a = y − y a = z − z

En general, pondremos a (a1, a2, a3) para indicar que a1, a2 y a3 son las componentes del vector a.

Estas componentes pueden ser números positivos o negativos (más adelante veremos que pueden

ser funciones de una o más variables), pero siempre deben ser calculadas como diferencia entre

las coordenadas del extremo y las del origen del vector. Así, por ejemplo, dos vectores opuestos

(de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos) tienen sus componentes iguales en valor

absoluto pero de signos contrarios.

Como consecuencia

...