MAXIMOS Y MINIMOS

MAXIMOS Y MINIMOS

Dada una función vamos a definir intuitivamente sus máximos y sus mínimos.

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es mayor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es menor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor.

Un máximo se llamará absoluto cuando su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que está alrededor.

Un mínimo se llamará absoluto cuando su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que está alrededor

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

• f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

• f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

• f''(x) = 6x

• f''(−1) = −6 Máximo

• f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

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