Máximos y mínimos

Máximos y mínimos

Una función es decreciente o creciente en un intervalo, cuando es creciente o decreciente o estacionaria en cada uno de los puntos del mismo.

CRITERIO DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b)

1. Si f ′(x) > 0 para todo x en (a, b), f es creciente en [a, b].

2. Si f ′(x) < 0 para todo x en (a, b), f es decreciente en [a, b].

3. Si f ′(x) = 0 para todo x en (a, b), f es constante en [a, b].

DEFINICIÓN DE NÚMERO CRÍTICO

Sea x un elemento del dominio de f , si f ′(x) = 0 o f ′(x) no existe, se denomina número o punto critico de f .

Estrategia para hallar los intervalos donde una función es creciente o decreciente.

Sea f continua en (a, b). Para hallar los intervalos abiertos donde f es creciente o decreciente, seguir los pasos que se indican:

1. Localizar los números críticos de f en (a, b).

2. Evaluar el signo de f ′(x) en cada uno de los intervalos que esos números críticos determinan sobre la recta real.

3. Usar el Teorema 1 para decidir si f crece o decrece en cada intervalo.

EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Sea c un número critico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c . Si f es

derivable en ese intervalo, excepto quizás en c , entonces f (c) puede clasificarse así:

1. Si f ′(x) cambia en c de negativa a positiva, f (c) es un mínimo relativo de f .

2. Si f ′(x) cambia en c de positiva a negativa, f (c) es un máximo relativo de f .

En los Ejercicios 7 – 13, hallar los números críticos de f , si los hay, los intervalos abiertos de crecimiento de la función algebraica y localizar los extremos relativos.

En los Ejercicios 13 – 16, hallar los intervalos abiertos en los que la función es creciente o decreciente y localizar los extremos relativos. Comprobar los resultados representando las graficas en la calculadora.

17. Estudio numérico, grafico y analítico La concentración C de un fármaco en el flujo sanguíneo t horas después de ser inyectado por vía muscular es

a) Completar la tabla y estimar el momento en el que C es máxima.

b) Representar en una calculadora la función C(t) y usar la grafica para aproximar el tiempo en el que la concentración es máxima

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