Manual de factorización

INDICE

Tema                                                                                                                                   Página

Caso I: Factor común………………………………………………………………………              3

Caso II: Factor común por agrupación de términos……………………………………..             4

Caso III: Trinomio cuadrado perfecto……………………………………………………..             5

Caso IV: Diferencia de cuadrados…………………………………………………………            6

Caso V: Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción……………………….             6

Caso VI: Trinomio de la forma x2+bx+c…………………………………………………..             7  

Caso VII: Trinomio de la forma ax2+bx+c…………………………………………...            8

Caso VIII: Cubo perfecto de binomios…………………………………………………….             9

Caso IX: Suma o diferencia de cubos perfectos…………………………………………            10

Caso X: Suma o diferencia de dos potencias iguales…………………………………...            11

CASO I: FACTOR COMÚN MONOMIO.[pic 2]

PROCEDIMIENTO.

1) Se encuentra un factor que divida a ambos monomios.

2) Se encuentra el factor común de las letras, que es el de menor exponente que divida a los monomios.

3) Si los coeficientes no tienen un factor común, pero si un factor común las letras, se copian dentro del paréntesis, los mismo coeficientes.

4) Si las letras no tienen un factor común, pero si hay factor común de los coeficientes, se copian dentro del paréntesis las mismas letras.

Ejemplos.

1) Descomponer en factores a^2 +2a = a(a +2)

En este caso se encuentra el factor común de los monomios a^2 y 2a; y este es “a”; luego se escribe entre paréntesis los factores (a) y (2) que multiplicados por el factor común (a), den como resultado los monomios dados originalmente.

Factor común:  a  porque a(a) = a^2  y a(2) = 2a

la solución es:  a(a +2)

Ejercicios [pic 3]

19) a^-a^2x+ax^2 = fc =a

         = A(a^2-ax+x^2) solución

25) a^2b^2c^2-a^2c^2+a^2c^2y^2

    = a^2c^2(b^2-x^2+y^2) solución

32) 9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3 

     = 3a( 3ª-4b+5a 2b2-8b3) solución

[pic 4]

CASO II: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Procedimiento:

1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común, separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.

2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales.

3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común Polinomio.

Ejemplos:

EJERCICIO 91.[pic 5]

Factorar o descomponer en factores:

1) a^2+ab+ax+bx = (a+b)(a+x)

= (a^2+ab)+(ax+bx)

=  a(a+b)+x(a+b)

=  (a+b)(a+x)  Solución

2) am-bm+an-bn = (a-b)(m+n)

= (am-bm)+(an-bn)

= m(a-b) +n(a-b)

= (a-b)(m+n)  Solución.

3) ax-2bx-2ay+4by = (a-2b)(x-2y)

= (ax-2bx)-(2ay-4by)

= (a-2b)-2y(a-2b)  

= (a-2b)(x-2y) Solución.

CASO III: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO[pic 6]

Procedimiento:

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto:

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos tienen raíz cuadrada exacta y positiva, y el segundo término es el doble del producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplo:  a^2-4ab+4b^2 es cuadrado perfecto porque:

Raíz cuadrada de a^2 = a

Raíz cuadrada de 4b^2 = 2b

Y el doble producto de estas raíces es 2(a)(2b) = 4ab

Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto:

Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio.

El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al cuadrado.

Ejercicios [pic 7]

1) A^2 -2ab +b^2 = (a -b) ^2

     = (a -b)^2 Solución

2) a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2

    = (a+b) ^2 solución

3) x^2-2x+1 = (x -1)^2

    = (x-1) ^2 solución

CASO IV: DIFERENCIA DE CUADRADOS[pic 8]

Forma general: [pic 9]

[pic 10]

Características:

-Binomio

-Resta

-Los dos términos deben ser cuadrados perfectos

Procedimientos:

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.

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