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PROBLEMA RESUELTO DE PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

Si un ingeniero de control de calidad toma una muestra de 10 neumáticos que salen de una línea de ensamblaje y él desea verificar sobre la base de los datos que siguen, los números de llantas con defectos observadas en 200 días, si es cierto que el 5% de todos los neumáticos tienen defecto; es decir, si el muestrea una población binomial con n = 10 y = .05

Número de unidades con defecto Número de muestras

0 138

1 53

2 ó más 9

1. Establecer la hipótesis

Ho: La población es binomial

Ha: La población no es binomial

2. Establecer la estadística de prueba

Oi = Valor observado en la i-ésimo celda.

Ei = Valor esperado en la i-ésimo celda.

K = Categorías o celdas.

m = Parámetros

3. 3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo

g,l = k- m – 1 = (3 – 0- 1) =

5.99

Nivel de significancia = 0.05

Zona de rechazo = { 5.99)

m = 0 porque no se necesito estimar ningún parámetro

4. Calculo de la estadística de prueba

Para poder calcular las frecuencias esperadas tenemos que calcular las probabilidades utilizaremos la formula de la binomial

donde n = 10 = 0.05

= .599

= .315

y la probabilidad de 2 ó más = 1.0 - .599 - .315 = .086

ahora ya podemos encontrar las frecuencias esperadas:

200 ( .599) = 119.8 200(.315) = 63 200 (.086) = 17.2

Al aplicar la formula se tiene:

= 8.26

5. Como 8.26 es mayor que 5.99,se rechaza la hipótesis nula con un nivel de significancia de 0.05.

6. Conclusión

Se concluye que el porcentaje verdadero de neumáticos con defecto no es el 5%.

UNIDAD: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

Pruebas de tablas de contingencias

En muchas ocasiones, los n elementos de una muestra de población pueden clasificarse de acuerdo con dos criterios diferentes. Por ello interesa conocer si los dos métodos de clasificación son estadísticamente independientes; por ejemplo, podemos considerar la población de ingenieros graduado y tal vez deseemos determinar si el salario inicial es independiente de las disciplinas académicas.

Supóngase que el primer método de clasificación tiene r niveles y que el segundo método de clasificación tiene c niveles. Sea oij la frecuencia observada para el nivel i del primer método de clasificación y el nivel j del segundo método de clasificación. Los datos aparecerían, en general, como en la tabla. Una tabla de tales características se llama comúnmente tabla de contingencia r X c.

Estamos interesados en probar la hipótesis de que los métodos de clasificación de renglón y de columna son independientes. Si rechazamos esta hipótesis, concluimos que hay cierta interacción entre los dos criterios de clasificación. Los procedimientos de prueba exactos son difíciles de obtener, pero una estadística de prueba aproximada es valida para n grande. Supóngase las oij como variables aleatorias multinomiales y pij como la probabilidad de que un elemento elegido al azar cae en la celda ijesima, dado que las dos clasificaciones son independientes. Entonces pij = uivj , donde ui es la probabilidad de que un elemento elegido al azar caiga en el renglón de clase i y vj es la probabilidad de que un elemento seleccionado en forma aleatoria caiga en la columna de clase j. Luego, suponiendo independencia, los estimadores de máxima probabilidad de ui y vj son:

ûi = Oij

ûj = Oij

Una tabla de contingencia r X c

Columnas

1 2 ... c

1 O11 O12 ... O1c

2 O21 O22 ... O2c

Renglones ... ... ... ... ...

r Or1 Or2 ... Orc

En consecuencia, el número esperado de cada celda es

Eij = nûivj = Oij Oij

Entonces, para n grande, la estadística

2

X20 = - X2 (r – 1) (c – 1)

Aproximadamente, y rechazaríamos la hipótesis de independencia si

X20 > X2a, (r – 1) (c – 1).

Prueba de bondad de ajuste de ji-cuadrada

El procedimiento de prueba requiere una muestra aleatoria de tamaño n de la variable aleatoria X, cuya función de densidad de probabilidad se desconoce. Estas n observaciones se arreglan en un histograma de frecuencias, teniendo k intervalos de clase. Sea 01 la frecuencia observada en el intervalo de la clase iesimo. De la distribución de probabilidad hipotética, calculamos la frecuencia esperada en el intervalo de clase iesimo, denotada E1. La estadística de prueba es:

X20 =

Puede demostrar que X²0 sigue aproximadamente la distribución ji cuadrada con k-p-1 grados de libertad, donde p representa el numero de parámetros de la distribución hipotética estimada por el medio de estadística de muestra. Esta aproximación se mejora cuando n aumenta. Rechazaríamos la hipótesis de que X se ajusta ala distribución hipotética si X²0>X²α k-p-1

Un punto que debe advertirse en la aplicación de este procedimiento de prueba se refiere ala magnitud de las frecuencias esperadas. Si estas frecuencias esperadas son demasiado pequeñas, entonces X²0 no reflejan la desviación de las observaciones respecto alas esperadas, si no solo las mas pequeñas de las frecuencias esperadas. No hay un acuerdo general en relación con el valor mínimo de las frecuencias esperadas, aunque los valores de 3,4 y 5 se utilizan ampliamente como mínimos. Si la frecuencia esperada es demasiado pequeña, puede combinarse con la frecuencia esperada en un intervalo de clase adyacente. Las frecuencias observadas correspondientes se combinaran también en ese caso, y k se reducirá en 1. No se requiere que los intervalos de clase sean de igual ancho.

Ejemplo

Una distribución completamente especificada Un científico de computadoras ha desarrollado un algoritmo para generar enteros pseudoaleatorios sobre el intervalo 0-9. Codifica el algoritmo y genera 1000 dígitos pseudoaleatorios. Los datos se muestran en la tabla 11-3. ¿Existe evidencia de que el generador de números

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