Matrices y sus operaciones básicas

Actividad 01

Omar  Temachtiani  Salinas  Zu´n˜iga*

ESIME  Azcapotzalco,  Instituto  Polit´ecnico  Nacional, Av. de las Granjas 682, Col. Sta. Catarina, Azcapotzalco 02250 CDMX, Fecha:27/Nov/2021

La siguiente actividad tiene por finalidad utilizar los conocimientos adquiridos  acerca  de  las matrices y sus operaciones b´asicas para resolver los ejercicios que en el desarrollo se plantean, para ello  se  utilizaran  las  leyes  asociativas  y  se  comprobara  que  la  ley  conmutativa  de  la  multiplicaci´on no  se  verifica  en  general.  As´ı  mismo,  se  realizar´an  operaciones  con  las  matrices  traspuestas  de las matrices originales. Todo esto aplicando los conocimientos desarrollados durante las clases de

Fundamentos  del  A´lgebra.

Palabras clave: matrices, operaciones, ley conmutativa, matrices traspuestas.

1. INTRODUCCIO´N

En   las   matem´aticas,   con   frecuencia   enfrentamos   la tarea  de  manejar  arreglos  de  nu´meros  o  funciones.  A cada uno de dichos arreglos se le denomina matriz[1]. Una matriz es una tabla cuadrada  o  rectangular  de datos agrupados (llamados elementos) ordenados  en filas y columnas, donde una fila es cada una  de  las l´ıneas de elementos sucesivos horizontales de la matriz, mientras que la columna es la l´ınea de elementos sucesivos verticales de la matriz[2].

La   invenci´on   de   las   matrices   se   fue   dando   por un  proceso  paulatino  en  el  que  distintos  matem´aticos contribuyeron   a   la   teor´ıa   y   la   pr´actica,   aunque   la invenci´on  de  la  teor´ıa  de  matrices  se  debe  al  eminente matem´atico   ingl´es   Arthur   Cayley   (1821-1895),   quien, en   junto   con   el   matem´atico   James   Joseph   Sylvester

Una matriz de n   n se denomina matriz cuadrada o de  orden  n.  Una  caracter´ıstica  que  se  podr´a  observar  en el desarrollo de la actividad es que la ley conmutativa de  la  multiplicaci´on  no  se  aplica  en  las  operaciones  de matrices, lo que significa que AB = BA; sin embargo, si se pueden verificar las leyes asociativas [5], como tambi´en se comprobar´a en el desarrollo de los ejercicios 7 y 8.

1. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD[pic 1][pic 2]

Instrucciones: Resuelve las siguientes operaciones con matrices, si:

A =  2  −1 [pic 3]

se    interesaron    en    trabajar    entre    los    an˜os    1840    y 1850  [3].  Acun˜aron  los  t´erminos  de  matriz,  invariante, discriminante  entre  otros;  tambi´en  contribuyo  al  campo de la teor´ıa de las invariables algebraicas, determinantes, teor´ıa de nu´meros, etc. Utilizando determinantes, Joseph Sylvester descubri´o el m´etodo dial´ıtico para eliminar una inc´ognita entre dos ecuaciones polinomiales [4].

Una matriz de orden m        n, donde la m son las filas y n las columnas, se puede escribir como:[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

1. A + B

B =        −1  1

2   −4[pic 9]

C =        1        4[pic 10]

−2 −1

 a        a[pic 11]

a        · · ·  a        

A+B =   2  −1  +  −1   1    =   2 − 1  −1 + 1   =   1   0   

A =        a21     a22     a13     · · · a2n[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

· · ·        · · ·        · · · · · ·   · · ·

am1   am2    am3    · · · amn

El  elemento  que  aparece  en  el  rengl´on  i-´esimo  y  en  la columna  j-´esima  de  una  matriz  A  de  m      n  se  escribe como aij, donde ”i” indica la fila en la que aparece el elemento y ”j” indica la columna [5].[pic 16]

1. A − B

A − B = 2 −1 −[pic 17]

−1   1        =[pic 18]

2   −4

2 − (−1)   −1 − (1)

4 − (2)    3 − (−4)[pic 19]

=  2 + 1  −1 − 1   =   3  −2 [pic 20]

* osalinasz2100@alumno.ipn.mx, otemachtiani@gmail.com

4 − 2    3 + 4        2   7

3. 2A − 3C

A =  2  −1 

3A + 2B − 4C =   6   −3   +  −2   2    −   4        16  

4   3

Entonces[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

12   9

4   −8

−8 −4

2A = 2 2 −1   =   2 ∗ 2 2 ∗ (−1)   =   4 −2 [pic 25][pic 26][pic 27]

=    6 − 2   −3 + 2   −   4        16   =   4   −1  −   4        16  

  1        4   

...