Mayor Entero De Un Numero Real

Matematica Basica

Salomon Ching Brice~no

mathsalomon@hotmail.com

9 de abril de 2014

Indice general

1 Maximo Entero (Mayor Entero) 3

1.1 El conjunto Mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Denicion del Maximo Entero (M.E.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Teorema fundamental Maximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Propiedades del Maximo Entero (M.E.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 El Maximo Entero en la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Bibliografa 25

1

Captulo 1

Maximo Entero (Mayor Entero)

Un tema que frecuentemente se encuentra en cursos como matematica basica,

precalculo, o analisis matematico es el que involucra a un operador que transforma

numeros reales en numeros enteros de forma redondeada por defecto. Por ejemplo el

numero real 2.4 queda redondeado a 2, o tambien, el -6 es el maximo entero de -5.6,

y as por el estilo. Dicho operador es conocido con nombres como mayor entero,

parte entera piso (

oor function), o Maximo Entero que es como se llamara en

este captulo. Aqu se presentara deniciones y teoremas (formulas principales) con

sus respectivas demostraciones, ejercicios de precalculo y aquellos que involucran

problemas de la vida cotidiana (aplicaciones del maximo entero en la vida real).

1.1 El conjunto Mx

Denicion 1.1.1 (Conjunto de enteros n  x; x 2 R). .

Dado x 2 R entonces el conjunto Mx es el conjunto de todos los numeros enteros

menores o iguales que x.

Mx = fn 2 Z j n  xg

Observacion 1.1. .

Para cada x 2 R se cumple

(i) x es cota superior de Mx:

(ii) Mx tiene supremo en R, siempre que Mx 6= :

3

4 1.1. El conjunto Mx

Teorema 1.1.1. .

Para cada x 2 R, el conjunto Mx es siempre no vaco.

Mx 6= 

Demostracion.

PASOS RAZONES

(1) Mx =  reduccion al absurdo

(2)  [9 n 2 Mx] denicion de c. vaco

(3)  [9 n 2 Z j n  x] denicion de Mx

(4) 8 n 2 Z j x < n negacion de 9 y 

(5) x es cota inferior de Z 6=  denicion de cota en R

(6) 9 v 2 R j v =nf(Z) propiedad del supremo

(7) 8  > 0 ; 9m 2 Z j m < v +  propiedad del supremo

(8) 1 > 0 ! 9m1 2 Z j m1 < v + 1 en particular  = 1

(9) 9 (m1

...