Metematicas - Analisis Funcional

en cálculo estudiamos función definida en la recta real. un poco de reflexión muestra que en los procesos de límite y muchas consideraciones que utilizan el hecho de R que tenemos disponible una función de distancia, lo llaman D, que asocia una distancia d (x, y) = | xy | con cada par de puntos x, y de R. en el plano y en el espacio tridimensional ordinario, la situación es similar.

en el análisis funcional estudiaremos espacios más generales y funciones definidas en ellos. llegamos a un concepto suficientemente general y flexible de un espacio de la siguiente manera. sustituimos el conjunto de los números reales que subyacen a R por un conjunto abstracto X e introducimos en X una función de la distancia que tiene sólo unas pocas de las propiedades más fundamentales de la función de distancia en R. pero ¿qué queremos decir con más fundamental?

esta pregunta está lejos de ser trivial. de hecho, la elección y formulación de axiomas en una definición siempre necesita de la experiencia, el conocimiento de los problemas prácticos y una idea clara de la meta a alcanzar. en el presente caso, un desarrollo de más de sesenta años ha llevado a la siguiente concepto que es básico y muy útil en el análisis funcional y su aplicación.

Definición 1.1-1

algunos términos relacionados son los siguientes. X generalmente se llama el conjunto subyacente de (X, d). sus elementos se denominan puntos. para x fijos, y que llamamos el número no negativo d (x, y) la distancia de x a y. propiedades (M1) a (M4) son los axiomas de una métrica. la desigualdad nombre triángulo está motivada por la geometría elemental, como se muestra.

desde (M4) obtenemos por inducción la desigualdad triangular generalizada

en lugar de (X, d) es posible que simplemente escribimos X si no hay peligro de confusión.

un subespacial se obtiene (Y, d) de (X, d) si tomamos un subconjunto ans restringimos d para YxY; Así, la métrica en Y es la restricción

d- se llama la métrica inducida sobre Y por d.

ahora vamos a enumerar ejemplos de espacio métrico, algunos de los cuales ya están familiarizados con el Reade. para demostrar que estos son espacios métricos debemos verificar en cada caso que los axiomas (M1) a (M4) están satisfechos. ordinariamente, por (M4) esto requiere más trabajo que para (M1) a (M3).

Sin embargo, en nuestros ejemplos actuales esto no va a ser difícil, por lo que Thet podemos dejar en el lector. métrica más sofisticado para el que (M4) no se verifica tan fácilmente incluida en la próxima sección

1.2 otros ejemplos de espacios métricos.

para ilustrar el concepto de un espacio métrico y el proceso de verificación de los axiomas de una métrica, en particular, la desigualdad triangular (M4), le damos tres ejemplos más. los últimos ejemplos es el más importante de ellos en las aplicaciones.

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