Modelacion De Un Sistema

? ? ? ? ? ? MOMENTO DE INERCIA El Momento de Inercia, también denominado Segundo Momento de Área; Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales. Inercia : La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Inercia a la Rotación : Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta „?la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro??. Momento de Inercia. Ejemplo : El momento de inercia realiza en la rotación un papel similar al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si con una honda se lanza una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de inercia es, pues, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material. Momentos de inercia de figuras planas conocidas más utilizadas : Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad: Triángulo isósceles de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a base y altura, pasan por su centro de gravedad: Triángulo rectángulo de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad: Círculo de radio R, respecto de cualquier eje que pase por su centro de gravedad: Semicírculo de radio R, respecto de los ejes que pasan por su centro de gravedad (el eje X paralelo al lado plano): Cuadrante (Cuarto de círculo) de radio R, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados planos, pasan por su centro de gravedad: MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -1-

XG YG 35,2 cm CÓMO CALCULAR EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA FIGURA PLANA COMPUESTA : Ejemplo 1 : Calcular el momento de inercia de la siguiente figura plana compuesta : 2do paso : Se determinan las áreas de estas figuras simples y se identifican como A1, A2 y A3 A1 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 A2 = base por altura = 1,1 x 35,2 = 38,72 cm2 A3 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 Atotal = A1 + A2 + A3 = 57 + 38,72 + 57 = 152,72 cm2 3er paso : Se Calcula la ubicación del centro de masa de la figura compuesta : Las coordenadas del centro de masa de una figura plana compuesta vienen dadas por las siguientes formulas : 1er paso : Se divide la figura compuesta en figuras planas sencillas de las que conozcamos las fórmulas para calcular su área y su momento de inercia. En este caso en particular podemos dividirla en 3 rectángulos : Donde “Ai” es el área de la figura simple estudiada, “Xi” es la abscisa del centro de masa de dicha figura simple y “Yi” la ordenada del centro de masa de la misma figura simple. Fijamos un sistema rectangular de coordenadas e indicamos la distancia que hay desde el origen hasta el centro de masa de cada una de las figuras simples en las que dividimos la figura compuesta. Recuerde que el centro de masa de un rectángulo está ubicado a un medio de su base y a un medio de su altura. MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -2-

o o o o o Para su posterior uso estas distancias son identificadas como : X1 = 15 cm X2 = 15 cm X3 = 15 cm Y1 = 38,05 cm Y2 = 19,5 cm Se confirma el enunciado que dice : “Si una figura plana posee un eje de simetría, su centro de masa estará ubicado sobre éste.” Esta figura en particular posee un eje de simetría horizontal y un eje de simetría vertical, luego su centro de masa estará ubicado en el punto de intersección de sus dos ejes de simetría. o Y3 = 0,95 cm Sustituyendo estos valores en las fórmulas : XG XG YG YG El centro de masa de la figura compuesta estará ubicado en las coordenadas (15 , 19.5) 4to paso : Se calculan las distancias que hay desde cada centro de masa de las figuras sencillas hasta el centro de masa de la figura compuesta. MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar -3-

? I2y + + En este caso notamos que todos los centros de masa de las figuras sencillas están contenidos en el eje “YG” del centro de masa de la figura compuesta, luego : X1G , X2G y X3G = 0 cm Con relación a las distancias con el eje “XG” : Y1G = 18,55 cm Y2G = 0 cm 6to paso : Se calcula el momento de inercia de cada una de las figuras sencillas respecto a los ejes “XG” e “YG” aplicando el teorema del eje paralelo, es decir el Teorema de Steiner. Ïi,x = Iix + Ai(YiG)2 Ïi,y = Iiy + Ai(XiG)2 Y3G = 18,55 cm 5to paso : Se calculan los momentos de inercia de las figuras sencillas con respecto a sus ejes (que serán paralelos a “YG” y “XG”); para lo cual utilizaremos las fórmulas que se encuentran en la primera página de esta guía. Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad: Ï1,x = I1x + A1(Y1G)2 = Ï2,x = I2x + A2(Y2G)2 = Ï3,x = I3x + A3(Y3G)2 = Ï1,y = I1y + A1(X1G)2 = Ï2,y = I2y + A2(X2G)2 = Ï3,y = I3y + A3(X3G)2 = + 57(18,55)2 = + (38,72) (0)2 = + 57(18,55)2 = + 57(0)2 = + (38,72) (0)2 = + 57(0)2 = Para la figura 1: I1x I1y Para la figura 2: I2x 7mo paso : Se calculan los momentos de inercia de la figura compuesta a partir de los momentos anteriores : Ix,total = ? Ïi,x Iy,total = ? Ïi,y Ix,total = Ï 1,x + Ï 2,x + Ï 3,x = 19.631 + 3.998 + 19.631 = 43.260 cm4 Para la figura 3: I3x I3y Iy,total = Ï1,y

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