Modelo Discreto

Posicionado solar

Introducción

En este experimento se pretende realizar la programación de un controlador digital para un servomecanismo

Resultaría difícil diseñar el sistema de control sin pensar en un proceso concreto para controlar ya que muchas características del sistema de control dependen directamente de qué se va a controlar. Por esa razón seguidamente se expone el diseño de un compensador para un servomecanismo de posición sencillo que hará el papel de proceso a controlar. No se va a profundizar mucho en ese diseño puesto que no es este el objetivo de este experimento.

Objetivos

Repasar los principales conceptos de control analógico y su relación con el control por computador.

Describir conceptos fundamentales en control digital tales como bloqueador de orden cero.

Dar a conocer los principales pasos requeridos para realizar el control por computador de un sistema físico.

Función de transferencia

ganancia=salida/entrada

En muchos sistemas la relación entre la salida y la entrada viene dada por una ecuación diferencial y, por lo tanto, no puede expresarse con una simple ganancia. En estos casos se puede transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica utilizando la denominada Transformada de Laplace. De esta manera, las ecuaciones diferenciales describen cómo se comportan los sistemas con el tiempo y se transforman haciendo uso de la transformada de Laplace en ecuaciones algebraicas, que no implican el tiempo. Este proceso suele denominarse como el paso del dominio del tiempo al domino s o de Laplace. En este último caso se puede definir la relación entre la salida y la entrada en términos de la denominada función de transferencia. Una función de transferencia representa la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada:

G(s)=(Y(s))/(X(s))

X(s) Y(s)

Figura 1. Función de transferencia.

Sistema continúo realimentado considerado hasta ahora. Casi la totalidad de los controladores continuos pueden implementarse usando electrónica analógica.

Figura 2. Sistema realimentado con control analógico.

El controlador analógico, encerrado en el cuadrado a trazos, puede reemplazarse por un controlador digital, como se muestra abajo, el cual hace la misma tarea de control que el controlador analógico. La diferencia básica entre estos controladores es que el sistema digital opera con señales discretas (o muestras de la señal censada) en lugar de señales continuas.

Figura 3. Sistema con control digital.

Los diferentes tipos de señales en el esquema digital de arriba pueden representarse por las figuras siguientes.

Figura 4. Distintos tipos de señales empleadas.

El propósito de este primer apartado de la práctica es mostrar cómo puede utilizarse MATLAB para trabajar con funciones discretas y diseñar sistemas de control digital.

En la anterior representación esquemática de un sistema de control digital, se observa que el sistema de control digital contiene partes discretas y continuas. Cuando se diseña un sistema de control digital, se necesita encontrar la equivalencia discreta de una porción continua de manera que solo se trabaje con funciones discretas. Un aspecto a considerar es que la referencia r (t) puede ser también digital, r(k), con lo que se podría prescindir del conversor A/D que realiza esta función. Con este propósito, se va a considerar la porción del sistema de control digital que se indica en la figura 5 y se desglosa en la

Figura 5. Conversión A/D y D/A cuando la planta es analógica.

Figura 6. Circuito bloqueador de orden cero.

La señal de reloj, conectada a los convertidores D/A y A/D proporciona un pulso cada T segundos y cada D/A y A/D manda una señal únicamente cuando llega el pulso. Por otra parte, el conversor A/D de la salida se encarga de obtener las muestras y (k) en los instantes indicados.

Se quiere encontrar una función discreta Gzoh(z) de manera que para una entrada constante a un sistema continuo G(s), la salida muestreada del sistema continuo sea igual a la salida discreta. Supóngase que la señal u (k) representa una muestra de la señal de entrada. Hay técnicas para tomar esta muestra u (k) y mantenerla para producir una señal continua uhat(t) . El circuito denominado “bloqueador de orden cero” es el encargado de mantener uhat(t) constante para cada valor de u(k) en el intervalo kT a (k+1)T.

La señal uhat(t) se aplica a G(s) y el conversor A/D produce la salida y(k), que será la misma señal que la que se obtendría si la señal discreta u(k) circulara a través de Gzoh(z), según la figura 7.

Figura 7. Conversiones D/A, A/D con planta analógica.

A continuación se muestra el modelo del bucle de control introduciendo Gzoh(z) en lugar de la sección continua:

Figura 8. Bucle resultante con control digital y planta analógica.

Introduciendo Gzoh(z), se puede modelar y diseñar sistemas de control digitales tratando únicamente funciones discretas.

Mediante Hzoh(z), podemos diseñar sistemas de control digital tratando solamente con funciones discretas.

Nota: Existen ciertos casos donde la respuesta discreta no coincide con la respuesta analógica debido a los circuitos de retención implementados en sistemas de control digital.

Conversión con c2dm

Existe una función en Matlab, denominada c2dm, que convierte un sistema continuo dado (ya en la forma función de transferencia o en la forma espacio de estado) al sistema discreto usando la operación de retención de orden cero explicada arriba. El comando básico para este comando c2dm es alguno de los siguientes.

[numDz,denDz] = c2dm (num,den,Ts,'zoh')

[F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

El tiempo de muestreo (Ts en seg/muestra) debería ser menor que 1/(30*BW), donde BW es el ancho de banda a lazo cerrado.

1.-Con la función de transferencia obtenida en con el modelo matemático el función del tiempo transformándola al dominio de la frecuencia.

1. Función de Transferencia continua

G(s)=(-1)/(2*m*s(s+b+i))

m = 1

b = 1

s=1

j= i

Asumiendo que el ancho de banda a lazo cerrado es mayor que 1 rad/seg., elegiremos el tiempo

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