Modelo del electron libre

Modelo del electron libre

Se considera un cristal unidimensional que es tan largo que en 1er lugar,se pueden ignorar las condiciones

de frontera en sus extremos.Las eingenfunciones mas convenientes para un e- libre son,ONDAS VIAJERAS SENOIDALES,del tipo:

 ψ = eikx(e- en dir x+)

 ψ = e-ikx(e- en dir x-)

Solo tomaremos la forma ψ = eikx y diremos que k puede tomar valores +y-.

 Energia de un e- libre en funcion de su numero de onda k

E=p2/2m=(h/2π)2k2/2m = f(k)

k=p/(h/2π) ; p:impulso

Redefino:

k>0 → e- se mueve en direccion x+

k<0 → e- se mueve en direccion x-

La energia depende de k2 y son simetricas respecto de k=0

[pic 1]

                                     -π/a                                        π/a        

Para la 1er banda del cristal,todos estos valores quedan dentro del intervalo: -π/a< k< π/a

·Valores de k que corresponden al valor maximo de E en la banda son k= -π/a y k= π/a

·Valor de k que corresponde al valor minimo de E en la banda es k=0 → Emin=0

(en la mitad del intervalo)

·Como k~1/ʎ~n y n=1,2,3,..entonces los valores de k permitidos por las condiciones de frontera,se encuentran equisdistantes en todo este intervalo.

 Kroing-Penney

El modelo se basa en el potencia periodico ꝏ de un pozo cuadrado unidimensional. Utilizado para ilustrar las caracteristicas generales del comportamiento de los e- en redes periodicas.

Las funciones de onda asociadas con este modelo se pueden calcular con aproximaion de

un e- resolviendo la ecuacion de Scroedinger:

 δ2Ψ +  2m(E-V0)*Ψ = 0        (I)

 δ2x       (h/2π)2                                    

Se puede expresar que:                  ψ = eikx*u(x)         (II)

Al reemplazar II en I u(x) debe satisfacer:  δ2y +  2ikδu

                                            δ2x       δx

 -(k2 -α2+ 2mV(x) )u = 0

                (h/2π)2

 α = (2mE/(h/2π)2)1/2

Para el potencial de la figura tengo caso 0

δ2y1 +  2ikδu1 

δ2x         δx

 -(k2-α2)u1(x) = 0

 Caso para -b

δ2y2 +  2ikδu2 

δ2x         δx

 -(k2-β2)u2(x) = 0 → β=(2m(E-V0)/(h/2π)2)1/2

Resolviendo las ecuaciones obtengo:

En 0i(α-k)x  +B.e-i(α-k)x

En -bi(ß-k)x + D.e-i(ß+k)x

Donde A,B,C,D,son ctes arbitrarias; βϵC ; 00

Condiciones de frontera: A+B=C+D

Realizando calculos se obtienen 4  ecuaciones homogeneas simultaneas y lineales. NO Э solucion a parte de A=B=C=D=0 a menos que desaparezca el determinante de los coeficientes Esto requiere que:

 α2+β2.sen(αa)sen(βb) + cos(αa)cos(βb) = cosk(a+b)

Energia en funcion de K: Las bandas de energia prhibidas y la relacion de E en funcion de k dentro de las di

ferentes bandas permitidas, se han asignado de acuerdo con el patron de la figura...

Puesto que cos-1k(a+b) no es una funcion de 1solo valor,esta asignacion es necesariamente arbitraria.Para energias grandes,es aparente que la funcion E(k) se acerca a la relacion del e- libre:

E=(h/2π)2k2/2m linea punteada en el grafico (parabola). Ademas para energias grandes,se ha encontrado que las bandas permitidas se hacen muy anchas y las regiones prohibidas muy angostas. Conclucion: La definicion de la masa efectiva:              

        m* = (h/2π)2 

                δ2E/δ2k

Donde para el calculo de la misma,se recurrio a la fisisca clasica para simplificar calculos que mediante la fisisca cuantica serian muy complicados.

GENERACION Y RECOMBINACION

 Generacion proceso por el cual se crean e- y huecos.

...