Modulaciones matematicos

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE.

PRESENTADO POR:

SARA JULIANA RESTREPO CASTRO, código: 2082289

PRESENTADO A:

PROFESORA BIVIANA SEPULVEDA

FECHA: NOVIEMBRE 26 DE 2009

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

INTRODUCCION

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada).

El cociente formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.

Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.

Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:

     [pic 1]

donde H(s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y(s) es la transformada de Laplace de la respuesta y X(s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada.

La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:

[pic 2]

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de

   Y(S)=H(S)X(S)

y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):

[pic 3]

Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos.

Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como:

[pic 4]

OBJETIVOS

• Mediante el uso de ecuaciones diferenciales y transformada de laplace, resolver todo tipo de sistemas, ya sea mecanico, hidráulico, eléctrico o cualquier otro.
• Observar y poner en practica los diferentes usos y aplicaciones de la transformada de laplace en resolución de sistemas.
• Aprender a sacar funciones de transferencia no solo a circuitos eléctricos como siempre estábamos acostumbrados, sino darse cuenta que a cualquier otro sistema también se le puede sacar función de transferencia por diferentes técnicas físicas o matematicas.
• Utilizar la opción de simulacion en matlab, y aprovechar su utilidad para simplificar funciones de transferencia.
• Observar utilizando en matlab la herramienta simulink como se comporta gráficamente un sistema, viendo dicho comportamiento a travez del osciloscopio que el programa nos permite utilizar.
• Aprender a  utilizar un software para ayudarnos a simplificar mas fácil algunas cosas y observar diversos fenómenos que ocurren en los  sistemas.

COMPRENSION DEL PROBLEMA.

 el problema que se resolvera consiste en un sistema mecanico masa-resorte con amortiguador, al cual se le aplica una fuerza .

pero para resolverlo se utilizara una técnica que consiste en convertir dicho sistema mecanico en un circuito eléctrico teniendo en cuenta ciertos parámetros de conversión de elementos mecanicos a eléctricos.

la manera con la cual se propone resolver el ejercicio será primero haciendo los diagramas de cuerpo libre para cada una de las masas del sistema y utilizando la segunda ley de newton para con esto sacar las ecuaciónes diferenciales resultantes y a estasse  les hallara su respectiva transformada de laplace, después se hara la conversión de sistema mecanico a circuito eléctrico y seresolvera este circuito en el dominio de la frecuencia y se obtendrán sus respectivas ecuaciones, esto para comprobar q las ecuaciones si coinciden, después de esto se hallaran las dos funciones de transferencia que resultan de este proceso (se sabe que quedaran dos porque son dos entradas).

• RESOLUCION DEL EJERCICIO.

Se tiene el siguiente sistema mecanico, de masa resorte con amortiguador:

[pic 5]

SOLUCION.

Para resolver este diagrama se debe sacar la ecuación diferencial del sistema, pero para esto antes se debe hacer el diagrama de cuerpo libre para cada bloque y utilizar la segunda ley de newton, asi:

[pic 6]

• Asi las ecuaciones diferenciales que rigen a cada bloque son:

-para el bloque 1 (M1) la ecuación diferencial es:

[pic 7]

-para el bloque 2 (M2) la ecuación diferencial es:

[pic 8]

• Ahora para pasar las ecuaciones diferenciales al dominio de la frecuencia compleja ‘’S’’ se le aplica transformada de laplace a cada una de las dos ecuaciones, asi:

-para el bloque M1:

=0[pic 9]

Organizando la ecuación, queda:

[pic 10]

-para el bloque M2:

=0[pic 11]

Organizando la ecuación, queda:

[pic 12]

• Por teoría de sistemas analógicos se sabe que un sistema mecanico se puede representar como un circuito eléctrico, haciendo las siguientes conversiones:

• Una masa M se comporta como una bobina de valor: M [henrrios]
• Un amortiguador   se comporta como una resistencia de valor:  [Ω][pic 13][pic 14]
• Un resorte k se comporta como un capacitor de valor:   [faradios][pic 15]
• Una fuerza f(t) aplicada a una masa se comporta como una fuente de voltaje de valor:  f(t) [voltios]
• Una velocidad v(t) se comporta como una corriente de valor: v(t) [amperios]

• Por teoría de sistemas analógicos, el circuito equivalente en el dominio del tiempo del sistema mecanico masa-resorte al cual se le obtuvieron sus ecuaciones diferenciales anteriormente es:  

[pic 16]

(en este circuito ya se encuentran reemplazados los parámetros de conversión del sistema necanico a eléctrico)

-a continuación se procede a pasar el circuito al dominio de la frecuencia compleja ‘’S’’, para esto recordemos que las impedancias de la bobina y el capacitor en el dominio de S son:

[pic 17]

Como en este caso los capacitores tienen valores de [pic 18]

Y las bobinas tienen valores de [pic 19]

• por lo tanto, las impedancias en el dominio de ‘’S’’ de cada y capacitor y cada impedancia son:

[pic 20]

• El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia es asi:

[pic 21]

• Resolviendo el circuito por la técnica de corrientes de mallas, se tienen las siguientes ecuaciones, ya organizadas:

            (1)[pic 22]

0                     (2)[pic 23]

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