Movimiento Armonico Simple

Introducción

En el presente informe que lleva como título Movimiento Armónico Simple se dará conceptos relacionados a movimientos oscilatorios también se podrá calcular experimentalmente los valores de la constante de elongación (k), colocando una cierta masa al resorte (m) esto provocara una elongación(x) en el resorte de una manera similar se podrá obtener el periodo (T).

Objetivos

Investigar sobre el movimiento armónico simple (MAS) de cuerpos elásticos.

Analizar e interpretar en práctica el movimiento oscilatorio identificando las características principales del mismo.

Calcular la constante K del resorte mediante cálculos matemáticos.

Determinar la relación entre el periodo de oscilación, la masa y la elongación.

Materiales / Equipos

1 Soporte Universal

1 Resorte de acero

1 Regla milimetrada

1 Juego de pesas más porta pesas

1 Balanza digital

1 Cronómetro

Fundamento Teórico

El movimiento armónico simple (M.A.S.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (M.V.A.S.), es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un M.A.S.

4.1. Elementos

Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.

Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.

Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio.

Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la letra "t".

Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.

Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

4.2. Ecuación del Movimiento

Elongación:

En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que F_x=-kx donde es una constante positiva y es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

x(t)=Asen(ωt+α)

Donde:

x: es la elongación de la partícula.

A: es la amplitud del movimiento (elongación máxima).

ω: es la frecuencia angular.

t: es el tiempo.

Velocidad:

La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

v(t)=ωAcos(ωt+α)

Aceleración:

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

a(t)=-ω^2 Asen(ωt+α)=-ω^2 x

4.3. Dinámica del Movimiento Armónico Simple

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición

F_x=-kx

Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle.

Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

Pero:

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

4.4. Energía de un M.A.S.

En el M.A.S. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.

En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el M.A.S. es la suma de su energía potencial más su energía cinética.

Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).

Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética Ec=1/2 mv^2

y el valor de la velocidad del M.A.S.

v(t)=ωAcos(ωt+α)

Sustituyendo obtenemos

Ec=1/2 mv^2=1/2 mA^2 ω^2 (ωt+α)

Ec=1/2 mk〖cos〗^2 (ωt+α)

A partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:

sen2 + cos2 = 1

Ec=1/2 kA^2 [1-〖sen〗^2 (ωt+α) ]

De donde la energía cinética de una partícula sometida a un m.a.s. queda

Ec=1/2 k[A^2-x^2 ]

Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo cuando la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose su valor mínimo en el extremo de la trayectoria.

La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario para llevar la partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de elongación y.

W=∫_0^y▒〖F ⃗ ∙(dy) ⃗ 〗=∫_0^y▒ky dy=1/2 ky^2

Por ello el valor de la energía potencial en una posición x vendrá dado por la expresión

Ep=1/2 kx^2

Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una partícula que describe un M.A.S. será:

Etotal=1/2 kx^2+1/2 k(A^2-x^2 )=1/2 kA^2

En el M.A.S. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su amplitud permanece también

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